วันจันทร์ที่ 19 ธันวาคม พ.ศ. 2554

ความคิดทางเรขาคณิต




ความคิดทางเรขาคณิต



          รูทรงเรขาคณิต เป็นรูปที่ประกอบด้วยจุด เส้นตรง ส่วนโค้งต่าง ๆ และถ้าอยู่ในระนาบเดียวกัน เราก็เรียกว่ารูประนาบ แต่ถ้าหากเป็นรูปทรงที่มีความหนา ความลึก ความสูง เราก็เรียกว่ารูปสามมิติ            หากเราหยิบภาชนะต่าง ๆ ที่อยู่รอบตัวเราขึ้นมาจะพบว่าประกอบด้วย รูปทรงเรขาคณิต หลากหลายรวมกัน ความคิดเกี่ยวกับรูปทรงเรขาคณิตในแนวทางคณิตศาสตร์มีพัฒนาการมายาวนานหลายพันปีแล้ว




 รูปทรงเรขาคณิตแบบต่าง ๆ
             
             รูปทรงกลม ลูกบอล แก้วน้ำ ภาชนะถ้วยชามต่าง ๆ ประกอบเป็นรูปร่างแบบต่าง ๆ ดังนั้นการจะอธิบายหรือออกแบบสิ่งต่าง ๆ จำเป็นต้องอาศัยทฤษฎีทางเรขาคณิต
             ปัจจุบันประเทศไทยกำลังจะมีรถไฟใต้ดิน ลองนึกดูว่า ถ้าจะเจาะอุโมงค์ จากที่หนึ่งให้ทะลุหรือชนกับการเจาะมาจากอีกแนวหนึ่งได้ ต้องใช้หลักการทางเรขาคณิตมาช่วย
            นักคณิตศาสตร์ เริ่มจากการกำหนดจุด จุดซึ่งไม่มีขนาด ไม่มีมิติ และถ้าเราให้จุดเคลื่อนที่แนวทางการเคลื่อนที่ของจุด ก่อให้เกิดเส้น
             หากหยิบแผ่นกระดาษมาหนึ่งแผ่น ผิวของแผ่นกระดาษเรียกว่าระนาบ รูปที่เกิดบนกระดาษนี้เรียกว่ารูประนาบ และถ้าดูที่ผิวของถ้วยแก้วที่เป็นรูปทรงกระบอก เราก็จะเห็นผิวโค้ง ซึ่งเราอาจมองรูปผิวโค้งของถ้วยแก้วในลักษณะสามมิติ

จุดไม่มีมิติ

เส้นตรงมี 1 มิติ

ระนาม 2 มิติ

กล่องมี 3 มิติ

มิติต่าง ๆ ของรูปทรงเรขาคณิต
            
                 ในยุคสมัยบาบิโลน มีหลักฐานชัดเจนว่าได้มีการพิสูจน์ให้เห็นถึงทฤษฎีความสัมพันธ์ของด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก การพิสูจน์กฎเกณฑ์นี้มีมาก่อนที่พีธากอรัสเกิดถึงกว่าพันปี (พีอากอรัสเกิดเมื่อ 572 ก่อนคริสตกาล) แต่พีธากอรัสได้พิสูจน์และแสดงหลักฐานต่าง ๆ ให้โลกได้รับรู้ และต่อมาได้ยอมรับว่าทฤษฎีบทที่ว่าด้วยเรขาคณิตที่เกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เรียกว่า ทฤษฎีบทพีธากอรัส

ทฤษฎีบทพีธากอรัส

            ทฤษฎีบทของพีธากอรัสในเรื่อง ความสัมพันธ์ของด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก  พีธากอรัสมีวิธีการพิสูจน์ โดยใช้หลักการของรูปสี่เหลี่ยมจตุรัสสองรูปที่อยู่บนระนาบ ดังแสดง



พื้นที่ = c2

พื้นที่ = ab/2

พื้นที่ = (a + b)(a + b)



นั่นคือพื้นที่รูปที่ +(พื้นที่รูปที่ )=พื้นที่รูปที่ 
c2+4 (ab/2)=(a + b)2
c2+2ab=a2 + 2ab + b2
c2=a2 + b2

http://web.ku.ac.th/schoolnet/snet2/history_math/math_geo.htm
http://web.ku.ac.th/schoolnet/snet2/history_math/pytha_theory.htm

ลำดับ (Sequence)



ลำดับ (Sequence)


ในอดีตกลุ่มปีทาโกเรียนสร้างจำนวนเชิงรูปภาพขึ้น เพื่อแสดงความสัมพันธ์ระหว่างเรขาคณิตกับ เลขคณิต เช่น จำนวนเชิงสามเหลี่ยม และ จำนวนเชิงสี่เหลี่ยม

จำนวนเชิงสามเหลี่ยม 5 จำนวนแรก
จำนวนเชิงสี่เหลี่ยม 5 จำนวนแรก
จำนวนเชิงสามเหลี่ยม ได้แก่ 1, 3, 6, 10, 15, ... ซึ่งมีจำนวนมากมายนับไม่ถ้วน
จำนวนเชิงสี่เหลี่ยม ได้แก่ 1, 4, 9, 16, 25, ... ซึ่งมีจำนวนมากมายนับไม่ถ้วนเช่นกัน

  จำนวนเชิงสามเหลี่ยม และ จำนวนเชิงสี่เหลี่ยม เป็น ตัวอย่างของลำดับ ที่เรียกว่า ลำดับอนันต์ (Infinite Sequence)
ฟังก์ชัน ที่มี โดเมน เป็นเซตของจำนวนเต็มบวก 
ตัวอย่าง

นำจำนวนเชิงสี่เหลี่ยมมาเขียนในตาราง เพื่อแสดงความสัมพันธ์ระหว่าง 
รูปที่ 
กับ จำนวนเม็ดสีในแต่ละรูป ได้ดังนี้


รูปที่

1

2

3

4

5

...

จำนวนเม็ดสี

1

4

9

16

25

...

ความสัมพันธ์นี้คือ f = {(1, 1), (2, 4), (3,9), (4, 16), (5, 25), ...}โดเมน   คือ Df = { 1, 2, 3, 4, 5, … }
เรนจ์   คือ Rf = { 1, 4, 9, 16, 25, …}

เราเรียก 1, 4, 9, 16, 25, ... ว่า    ลำดับอนันต์ (Infinite Sequence)
เพราะมีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวกซึ่งมีจำนวนมากมายนับไม่ถ้วน



จำนวนเชิงสามเหลี่ยม 5 จำนวนแรก และ จำนวนเชิงสี่เหลี่ยม 5 จำนวนแรก เป็น ตัวอย่างของลำดับ ที่เรียกว่า ลำดับจำกัด (Finite Sequence)

ฟังก์ชัน ที่มี โดเมน เป็นเซตของจำนวนเต็มบวก n จำนวนแรก 
ตัวอย่าง ในช่วงวันหยุด 4 วัน นิภาได้วิ่งออกกำลังกายทุกเช้า โดยเริ่มวันแรกด้วยการวิ่งรอบสระน้ำ 3 รอบ และทุก ๆ วันถัดไปวิ่งเพิ่มขึ้นจากวันก่อนวันนั้น ๆ อีก 3 รอบ

เขียนตารางแสดงความสัมพันธ์ระหว่าง วันที่วิ่ง กับ จำนวนรอบที่วิ่ง ได้ดังนี้
    

วันที่

1

2

3

4

จำนวนรอบ

3

6

9

12
ความสัมพันธ์ระหว่าง วันที่วิ่ง กับ จำนวนรอบที่วิ่ง เป็น ฟังก์ชัน ที่มี
โดเมน   =   {1, 2, 3, 4} 
  เรนจ์     =  { 3, 6, 9, 12 }
เราเรียก 3, 6, 9, 12  ว่า  ลำดับจำกัด (Finite Sequence)
เพราะมีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวกเพียง n จำนวนแรก (n = 1, 2, 3, 4)

http://web.ku.ac.th/schoolnet/snet2/knowledge_math/sequence/sequenc1.html

ยูคลิด (Euclid)




ยูคลิด (Euclid)




ยูคลิดเป็นนักคณิตศาสตร์ที่สำคัญ และเป็นที่รู้จักกันดี ยูคลิดเกิดที่เมืองอเล็กซานเดรีย ประเทศอิยิปต์ เมื่อราว 365 ปี ก่อนคริสตกาล เมื่อมีชีวิตอยู่จนกระทั่งประมาณปี 300 ก่อนคริสตกาล สิ่งที่มีชื่อเสียงคือผลงานเรื่อง The Elements
หลักฐานและเรื่องราวเกี่ยวกับตัวยูคลิดยังคงสับสน เพราะมีผู้เขียนไว้หลายรูปแบบ อย่างไรก็ตามผลงานเรื่อง The Elements ยังคงหลงเหลืออยู่จนถึงทุกวันนี้ จากหลักฐานที่สับสนทำให้สันนิษฐานที่เกี่ยวกับยูคลิดมีหลายแนวทาง เช่น ยูคลิดเป็นบุคคลที่เขียนเรื่องThe Element หรือยูคลิดเป็นหัวหน้าทีมนักคณิตศาสตร์ที่อาศัยอยู่ที่อเล็กซานเดรีย และได้ช่วยกันเขียนเรื่อง The Elements อย่างไรก็ดีส่วนใหญ่ก็มั่นใจว่ายูคลิดมีตัวตนจริง และเป็นปราชญ์อัจฉริยะทางด้านคณิตศาสตร์ที่มีชีวิตในยุคกว่า 2,000 ปี
งาน The Elements แบ่งออกเป็นหนังสือได้ 13 เล่ม ใน 6 เล่มแรกเป็นผลงานเกี่ยวกับเรขาคณิต เล่ม 7, 8 และ 9 เป็นเรื่องราวเกี่ยวกับทฤษฎีตัวเลข เล่ม 10 เป็นเรื่องราวเกี่ยวกับทฤษฎีที่ว่าด้วยจำนวนอตักยะ เล่ม 11, 12 และ 13 เกี่ยวข้องกับเรื่องราว รูปเรขาคณิตทรงตัน และปิดท้ายด้วยการกล่าวถึงรูปทรงหลายเหลี่ยม และข้อพิสูจน์เกี่ยวกับรูปทรงหลายเหลี่ยม
งานของยูคลิดเป็นที่ยอมรับอย่างกว้างขวางมาก และกล่าวกันว่าผลงาน The Elements เป็นผลงานที่ต่อเนื่อง และดำเนินมาก่อนแล้วในเรื่องผลงานของนักคณิตศาสตร์ยุคก่อน เช่น ทาลีส (Thales), ฮิปโปเครตีส (Hippocrates) และพีธากอรัส อย่างไรก็ตาม หลายผลงานที่มีในหนังสือนี้เป็นที่เชื่อกันว่าเป็นบทพิสูจน์และผลงานของยูคลิดเอง ผลงานของยูคลิดที่ได้รับการนำมาจัดทำใหม่ และตีพิมพ์เผยแพร่ครั้งแรกในปี ค.ศ. 1482 หลังจากนั้นมีผู้นำมาตีพิมพ์อีกมากมายนับจำนวนครั้งไม่ถ้วน

ตัวอย่าง อัลกอริทึมการหา ห.ร.ม.


ลักการหา ห.ร.ม.ที่ง่ายที่สุดและรู้จักกันดีจนถึงปัจจุบันคือ ให้นำตัวเลขจำนวนน้อยหารตัวเลขจำนวนมาก เศษที่เหลือมาเทียบกับเลขจำนวนน้อย จับหารกันไปเรื่อย ๆ ทำเช่นนี้จนลงตัว ได้ ห.ร.ม. เป็นเลขที่ลงตัวตัวสุดท้าย
ดังตัวอย่าง การหา ห.ร.ม. ของ 330 กับ 140

a = bq1 + r2 ,0  <  r2  <  b ; 330 = 140 . 2 + 50;
b = r2q2 + r3 ,0  <  r3  <  r2 ; 180 = 50 2 + 40;
r2 = r3q3 + r4 ,0  <  r4  <  r3 ; 50 = 40 . 1 + 10;
.................... 40 = 10 . 4
rn-2 = rn-1qn-1 + rn ,0  <  rn  <  rn-1 ;
rn-1 = rnqn

ห.ร.ม. ของ (330, 140) คือ 10






งานของยูคลิดยังมีอีกมากมาย โดยเฉพาะในเรื่องราวเกี่ยวกับตัวเลข ปรากฎการณ์ทางธรรมชาติ เรื่องของแสง ทางเดินของจุดบนเส้นโค้งและผิวโค้ง รูปกรวย และยังมีหลักการทางดนตรี
 อย่างไรก็ตาม หลักสูตรหลายอย่างได้สูญหายไป


http://www.trueplookpanya.com/true/knowledge_detail.php?mul_content_id=288

วันเสาร์ที่ 17 ธันวาคม พ.ศ. 2554

รูปทรงและปริมาตร


1. รูปทรง

รูปทรง คือ สิ่งที่มองเห็นทั้งส่วนที่เป็นพื้นผิว ส่วนลึก ส่วนหนา ส่วนสูง ฯลฯ
2. ทรงกลม เป็นรูปทรงผิวโค้งเรียบ เช่น ลูกบอล 

3. ทรงกระบอก 
ทรงกระบอก เป็นรูปทรงที่มีหน้าตัด (ฐาน) ทั้งสองข้างเป็นรูปวงกลมที่เท่ากัน ทุกประการ และมีหน้าข้างโค้ง

4. กรวย 
กรวย เป็นเป็นรูปทรงที่มีฐานเป็นรูปวงกลม มีจุดยอดแหลม และมีหน้าข้างโค้ง

5. ปริซึม 
ปริซึม เป็นรูปทรงที่มีหน้าตัด(ฐาน) ทั้งสองข้างเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการ มีหน้าข้างเป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก การเรียกชื่อปริซึมจะเรียกตามรูปหน้าตัดของปริซึม

6.พีระมิด 
พีระมิด เป็นรูปทรงที่มีฐานเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยม มียอดแหลมและมีด้าน ข้างเป็นรูปสามเหลี่ยม การเรียกตามชื่อรูปที่ฐานของพีระมิด

7. ปริมาตร 
ปริมาตร เป็นขนาดของรูปทรง การหาปริมาตรเป็นการหาขนาดของรูป ทรงตัน ส่วนการหาความจุเป็นการหาปริมาตรภายในของรูปทรงที่กลวง
ปริมาตรสี่เหลี่ยมมุมฉาก = กว้าง x ยาว x สูง = พื้นที่ฐาน x สูง ลูกบาศก์หน่วย
8. การเปรียบเทียบหน่วยวัดปริมาตร 
1 ลิตร เท่ากับ 1,000 มิลลิลิตร
1 มิลลิลิตร เท่ากับ 1 ลูกบาศก์เซนติเมตร
1 ลิตร เท่ากับ 1,000 ลูกบาศก์เซนติเมตร

http://www.tutormaths.com/pratom14.htm

สัจพจน์ของความบริบรูณ์




สัจพจน์ความบริบูรณ์ หรือสัจพจน์การมีค่าขอบเขตบนน้อยสุด (Least upper bound axiom)
บทนิยามถ้า S เป็นสับเซตของ R
 S จะมีขอบเขตบนก็ต่อเมื่อ มีจำนวนจริง a ที่ทำให้ x ≤ a
 สำหรับจำนวนจริง x ทุกตัวใน S เรียกจำนวนจริง a นี้ว่า "ขอบเขตบนของ S"
  
บทนิยามถ้า S เป็นสับเซตของ R
 a จะเป็นขอบเขตบนน้อยสุดของ S ก็ต่อเมื่อ
 1. a เป็นขอบเขตบนของ S
 2. ถ้า b เป็นขอบเขตบนของ S แล้วจะได้ว่า a ≤ b
  
 สัจพจน์การมีค่าขอบเขตบนน้อยสุด
       ถ้า S เป็นสับเซตของ R โดยที่ S ≠ Ø และ S มีขอบเขตบนแล้ว S จะมีค่าขอบเขตบนน้อยสุด
-------------------------------------------------------------------
ตัวอย่างที่ 1ให้ S เท่ากับช่วงปิด [1, 6]
 จะได้ว่า 6 และจำนวนจริงทุกตัวที่มากกว่า 6 เป็นขอบเขตบนของ S และขอบเขตบนน้อยสุดคือ 6
-------------------------------------------------------------------
ตัวอย่างที่ 2ให้ S เท่ากับช่วงเปิด (2, 7)
 จะได้ว่า 7 และจำนวนจริงทุกตัวที่มากกว่า 7 เป็นขอบเขตบนของ S และขอบเขตบนน้อยสุดคือ 7
-------------------------------------------------------------------
ตัวอย่างที่ 3ให้ S = {1, 0, 3, 5, 4}
 จะได้ว่า 5 และจำนวนจริงทุกตัวที่มากกว่า 5 เป็นขอบเขตบนของ S และขอบเขตบนน้อยสุดคือ 5
-------------------------------------------------------------------
ตัวอย่างที่ 4ให้ S = [-2, ∞]
 จะได้ว่า S ไม่มีขอบเขตบน
-------------------------------------------------------------------
ตัวอย่างที่ 5ให้ S ≠ Ø
 จะได้ว่า จำนวนจริงทุกจำนวนเป็นค่าขอบเขตบนของ S ดังนั้นเซตว่างจึงไม่มีขอบเขตบนน้อยสุด
  

     http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/real_tau.html 

ค่าสัมบูรณ์


     บทนิยาม กำหนดให้ a เป็นจำนวนจริง
                       
      นั่นคือ ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนจริงใดๆ ต้องมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับศูนย์เสมอ
      • สมบัติของค่าสัมบูรณ์
                1. |x| = |-x|
2. |xy| = |x||y|
3.=
4. | x - y | = | y - x |
5. |x|2 = x2
6. | x + y | ≤ |x| +|y|
7. เมื่อ a เป็นจำนวนจริงบวก
    |x| < a หมายถึง -a < x < a
    |x| ≤ a หมายถึง -a ≤ x ≤ a
8. เมื่อ a เป็นจำนวนจริงบวก
    |x| > a หมายถึง x < -a หรือ x > a
    |x| ≥ a หมายถึง x ≤ -a หรือ x ≥ a
               
http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/real_abs.html 

การแก้สมการตัวแปรเดียว


บทนิยามสมการพหุนามตัวแปรเดียว คือ สมการที่อยู่ในรูป
anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 = 0
เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก และ an, an-1, an-2 ,..., a1, a0 เป็นจำนวนจริง ที่เป็นสัมประสิทธิ์ของพหุนาม โดยที่ an ≠ 0 เรียกสมการนี้ว่า "สมการพหุนามกำลัง n"
ตัวอย่างเช่น
x3 - 2x2 + 3x -4 = 0
4x2 + 4x +1 = 0
2x4 -5x3 -x2 +3x -1 = 0
• การแ้ก้สมการพหุนามเมื่อ n > 2
          สมการพหุนามกำลัง n ซึ่งอยู่ในรูป anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 = 0 เมื่อ n > 2 และ an, an-1, an-2 ,..., a1, a0 เป็นจำนวนจริง โดยที่ an ≠ 0 จะสามารถหาคำตอบของสมการพหุนามกำลัง n นี้ได้โดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือช่วยในการแยกตัวประกอบ
ทฤษฎีบทเศษเหลือ
เมื่อ f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0
โดย n > 2 และ an, an-1, an-2 ,..., a1, a0 เป็นจำนวนจริง และ an ≠ 0
ถ้าหารพหุนาม f(x) ด้วยพหุนาม x - c เมื่อ c เป็นค่าคงตัวใดๆแล้ว เศษของ
การหารจะมีค่าเท่ากับ f(c)
นั่นคือ เศษของคือ f(c)
ทฤษฎีบทตัวประกอบ
เมื่อ f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0
โดย n > 2 และ an, an-1, an-2 ,..., a1, a0 เป็นจำนวนจริง และ an ≠ 0
พหุนาม f(x) นี้จะมี x - c เป็นตัวประกอบ ก็ต่อเมื่อ f(c) = 0
ถ้า f(c) = 0 แล้วเศษของคือ 0
แสดงว่า x - c หาร f(c) ได้ลงตัว
นั่นคือ x - c เป็นตัวประกอบของ f(x)
ทฤษฎีบทตัวประกอบจำนวนตรรกยะ
เมื่อ f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0
โดย n > 2 และ an, an-1, an-2 ,..., a1, a0 เป็นจำนวนจริง และ an ≠ 0
ถ้า x -เป็นตัวประกอบของพหุนามของ f(x) โดยที่ m และ k เป็นจำนวนเต็ม
ซึ่ง m ≠ 0 และ ห.ร.ม. ของ m และ k เท่ากับ 1 แล้ว
(1) m จะเป็นตัวประกอบของ an
(2) k จะเป็นตัวประกอบของ a0
ขั้นตอนการหาคำตอบของสมการโดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ มีดังนี้
      1. ถ้า an = 1 ให้หาตัวประกอบ c ของ a0 และตัวประกอบ m ของ aที่ทำให้
f() = 0 ตามทฤษฎีบทตัวประกอบจำนวนตรรกยะ
      2. นำ x - c หรือ x -ที่หาได้ในข้อ 1. ไปหาร f(x) ผลหาร
จะเป็นพหุนามที่มีดีกรีต่ำกว่าดีกรีของ f(x) อยู่ 1
      3. ถ้าผลหารในข้อ 2. ยังมีดีกรีสูงกว่า 2 ให้แยกตัวประกอบต่อไปอีก โดยใช้วิธีตามข้อ 1. และ 2.
-------------------------------------------------------------------
ตัวอย่างที่ 1จงหาเซตคำตอบของสมการ x3 - 2x2 - x + 2= 0
วิธีทำให้ f(x) = x3 - 2x2 - x + 2
∴ f(1) = 1 - 2 -1 + 2 = 0
∴ x - 1 เป็นตัวประกอบของ f(x)
= x2 - x - 2
          x3 - 2x2 - x + 2 = (x-1)(x2 - x - 2)
                                   = (x-1)(x-2)(x+1)
x3 - 2x2 - x + 2 = 0
(x-1)(x-2)(x+1) = 0
                       x = 1, 2, -1
∴เซตคำตอบของสมการนี้คือ {-1, 1, 2}
-------------------------------------------------------------------
ตัวอย่างที่ 2จงหาเซตคำตอบของสมการ x3 - 10x2 + 27x -18 = 0
วิธีทำให้ f(x) = x3 - 10x2 + 27x -18
∴ f(1) = 1 - 10 + 27 -18 = 0
∴ x - 1 เป็นตัวประกอบของ f(x)
∴ x3 - 10x2 + 27x -18 = (x-1)(x2 - 9x + 18)
                                    = (x-1)(x-3)(x-6)
x3 - 10x2 + 27x -18 = 0
(x - 1) (x - 3) (x - 6) = 0
                       x = 1, 3, 6
∴เซตคำตอบของสมการนี้คือ {1, 3, 6}
-------------------------------------------------------------------
ตัวอย่างที่ 3จงหาเซตคำตอบของสมการ x3 - x2 - 5x -3 = 0
วิธีทำให้ f(x) = x3 - x2 - 5x -3
∴ f(3) = 33 -32 -5(3) - 3= 0
           = 27 - 9 - 15 - 3
           = 0
∴ x - 3 เป็นตัวประกอบของ f(x)
∴ x3 - x2 - 5x -3 = (x-3)(x2 + 2x + 1)
                           = (x-3)(x+1)(x+1)
x3 - x2 - 5x - 3 = 0
(x-3)(x+1)(x+1) = 0
                        x = 3, -1
∴เซตคำตอบของสมการนี้คือ {-1, 3}
-------------------------------------------------------------------
ตัวอย่างที่ 4จงหาเซตคำตอบของสมการ 2x3 - 3x2 - 17x +30 = 0
วิธีทำให้ f(x) = 2x3 - 3x2 - 17x +30
∴ f(2) = 2(2)3 -3(2)2 -17(2) +30 = 0
           = 16 - 12 - 34 +30
           = 0
∴ x - 2 เป็นตัวประกอบของ f(x)
∴ 2x3 - 3x2 - 17x +30 = (x-2)(2x2 + x - 15)
                                     = (x-2)(2x - 5)(x+3)
2x3 - 3x2 - 17x + 30 = 0
(x - 2)(2x - 5)(x + 3) = 0
x =2,
, -3
∴เซตคำตอบของสมการนี้คือ {-3, 2,}
-------------------------------------------------------------------
ตัวอย่างที่ 5จงหาเซตคำตอบของสมการ 6x3 + 11x2 - 4x - 4 = 0
วิธีทำให้ f(x) = 6x3 + 11x2 - 4x - 4
 ∴ f(-2) = 6(-2)3 -11(-2)2 -4(-2) - 4= 0
           = -48 + 44 + 8 - 4
           = 0
∴ x + 2 เป็นตัวประกอบของ f(x)
∴ 6x3 + 11x2 - 4x - 4 = (x+2)(6x2 - x - 2)
                                    = (x+2)(3x-2)(2x+1)
6x3 + 11x2 - 4x - 4= 0
(x +- 2)(3x - 2)(2x + 1) = 0
x = -2,
,
∴เซตคำตอบของสมการนี้คือ {-2,,}
-----------------------------------http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/real_sol.html--------------------------------

ระบบจำนวนจริง


 ระบบจำนวนจริง
     จากแผนผังแสดงความสัมพันธ์ของจำนวนข้างต้น จะพบว่า ระบบจำนวนจริง จะประกอบไปด้วย
     1. จำนวนอตรรกยะ หมายถึง จำนวนที่ไม่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็ม หรือทศนิยมซ้ำได้ ตัวอย่างเช่น √2 , √3, √5, -√2, - √3, -√5 หรือ ¶ ซึ่งมีค่า 3.14159265...
     2. จำนวนตรรกยะ หมายถึง จำนวนที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มหรือทศนิยมซ้ำได้ ตัวอย่างเช่น
เขียนแทนด้วย 0.5000...
เขียนแทนด้วย 0.2000...
 ระบบจำนวนตรรกยะ
     จำนวนตรรกยะยังสามารถแบ่งเป็น 2 ประเภท คือ
     1. จำนวนตรรกยะที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม หมายถึง จำนวนที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนหรือทศนิยมซ้ำได้ แต่ไม่เป็นจำนวนเต็ม ตัวอย่างเช่น
     2. จำนวนเต็ม หมายถึง จำนวนที่เป็นสมาชิกของเซต I = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...} เมื่อกำหนดให้ I เป็นเซตของจำนวนเต็ม
 ระบบจำนวนเต็ม
     จำนวนเต็มยังสามารถแบ่งได้อีกเป็น 3 ประเภทด้วยกัน
1. จำนวนเต็มลบ หมายถึง จำนวนที่เป็นสมาชิกของเซต I - โดยที่
          I - = {..., -4, -3, -2, -1}
เมื่อ I - เป็นเซตของจำนวนเต็มลบ
2. จำนวนเต็มศูนย์ (0)
3. จำนวนเต็มบวก หมายถึง จำนวนที่เป็นสมาชิกของเซต I+ โดยที่
         I+ = {1, 2, 3, 4, ...}
เมื่อ I+ เป็นเซตของจำนวนเต็มบวก
         จำนวนเต็มบวก เรียกได้อีกอย่างว่า "จำนวนนับ" ซึ่งเขียนแทนเซตของจำนวนนับได้ด้วยสัญลักษณ์ N โดยที่
                           N = I+ = {1, 2, 3, 4, ...}
 ระบบจำนวนเชิงซ้อน
     นอกจากระบบจำนวนจริงที่กล่าวมาข้างต้นแล้ว ยังมีจำนวนอีกประเภทหนึ่ง ซึ่งได้จากการแก้สมการต่อไปนี้
x2 = -1∴ x = √-1 = i
x2 = -2∴ x = √-2 = √2 i
x2 = -3∴ x = √-3 = √3 i
     จะเห็นได้ว่า “ไม่สามารถจะหาจำนวนจริงใดที่ยกกำลังสองแล้วมีค่าเป็นลบ” เราเรียก √-1 หรือจำนวนอื่นๆ ในลักษณะนี้ว่า “จำนวนจินตภาพ”และเรียก i ว่า "หนึ่งหน่วยจินตภาพ" เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ i
     ยูเนียนของเซตจำนวนจริงกับเซตจำนวนจินตภาพ คือ " เซตจำนวนเชิงซ้อน " (Complex numbers)

 สมบัติการเ่ท่ากันของจำนวนจริง
     กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ
     1. สมบัติการสะท้อน a = a
     2. สมบัติการสมมาตร ถ้า a = b แล้ว b = a
     3. สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a = b และ b = c แล้ว a = c
     4. สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน  ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c
     5. สมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a = b แล้ว ac = bc
    
 สมบัติการบวกในระบบจำนวนจริง
     กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ
    1. สมบัติปิดการบวก a + b เป็นจำนวนจริง
    2. สมบัติการสลับที่ของการบวก a + b = b + c
    3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มการบวก a + ( b + c) = ( a + b ) + c
    4. เอกลักษณ์การบวก 0 + a = a = a + 0
    นั่นคือ ในระบบจำนวนจริงจะมี 0 เป็นเอกลักษณ์การบวก
    5. อินเวอร์สการบวก a + ( -a ) = 0 = ( -a ) + a
    นั่นคือ ในระบบจำนวนจริง จำนวน a จะมี -a เป็นอินเวอร์สของการบวก
 สมบัติการคูณในระบบจำนวนจริง
กำหนดให้ a, b, c, เป็นจำนวนจริงใดๆ
     1. สมบัติปิดการคูณ ab เป็นจำนวนจริง
     2. สมบัติการสลับที่ของการคูณ ab = ba
     3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มของการคูณ a(bc) = (ab)c
     4. เอกลักษณ์การคูณ 1 · a = a = a · 1
    นั่นคือในระบบจำนวนจริง มี 1 เป็นเอกลักษณ์การคูณ
    5. อินเวอร์สการคูณ a · a-1 = 1 = a · a-1, a ≠ 0
    นั่นคือ ในระบบจำนวนจริง จำนวนจริง a จะมี  a-1 เป็นอินเวอร์สการคูณ ยกเว้น 0
     6. สมบัติการแจกแจง
               a( b + c ) = ab + ac
               ( b + c )a = ba + ca
     จากสมบัติของระบบจำนวนจริงที่ได้กล่าวไปแล้ว สามารถนำมาพิสูจน์เป็นทฤษฎีบทต่างๆ ได้ดังนี้
ทฤษฎีบทที่ 1กฎการตัดออกสำหรับการบวก
เมื่อ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ
ถ้า a + c = b + c แล้ว a = b
ถ้า a + b = a + c แล้ว b = c
ทฤษฎีบทที่ 2กฎการตัดออกสำหรับการคูณ
เมื่อ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ
ถ้า ac = bc และ c ≠ 0 แล้ว a = b
ถ้า ab = ac และ a ≠ 0 แล้ว b = c
ทฤษฎีบทที่ 3เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ
a · 0 = 0
0 · a = 0
ทฤษฎีบทที่ 4เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ
(-1)a = -a
a(-1) = -a
ทฤษฎีบทที่ 5เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ
ถ้า ab = 0 แล้ว a = 0 หรือ b = 0
ทฤษฎีบทที่ 6เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ
a(-b) = -ab
(-a)b = -ab
(-a)(-b) = ab
      เราสามารถนิยามการลบและการหารจำนวนจริงได้โดยอาศัยสมบัติของการบวกและการคูณใน
ระบบจำนวนจริงที่ได้กล่าวไปแล้วข้างต้น
• การลบจำนวนจริง
บทนิยามเมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ
a- b = a + (-b)
นั่นคือ a - b คือ ผลบวกของ a กับอินเวอร์สการบวกของ b
• การหารจำนวนจริง
บทนิยามเมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ เมื่อ b ≠ 0
= a(b-1)
นั่นคือคือ ผลคูณของ a กับอินเวอร์สการคูณของ b