ความสัมพันธ์ โดเมน และเรนจ์ของความสัมพันธ์

• ความสัมพันธ์
กำหนด A และ B เป็นเซตใดๆ แล้ว r เป็นความสัมพันธ์ จากเซต A ไปเซต B ก็ต่อเมื่อ r เป็นสับเซตของ A× B           และ ถ้า r เป็นสับเซตของ A× A แล้ว r เป็นความสัมพันธ์ในเซต A
	ตัวอย่างเช่น		กำหนด A = {1, 2, 3}, B = { 0, 2, 4} และ r = { (x,y) ∈ A× B | y = 2x }
		∴	r = { (1,2), (2,4) }
	หมายเหตุ		(x, y) ∈ r อาจเขียนแทนด้วย x r y
	โดเมน และเรนจ์ของความสัมพันธ์
	กำหนด r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B
	โดเมนของ r คือ เซตของสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับใน r เขียนแทนด้วย Dr
	Dr = { x | (x, y) } ∈ r
	เรนจ์ของ r คือ เซตของสมาชิกตัวหลังของคู่อันดับใน r เขียนแทนด้วย Rr
	Rr = { y | (x, y) } ∈ r
	หลักการหาโดเมน และเรนจ์ของความสัมพันธ์ เมื่อกำหนด r แบบบอกเงื่อนไขมาให้
	1. เมื่อต้องการหาโดเมน ให้จัด y ให้อยู่ในรูปของ x แล้วพิจารณาค่า x ทั้งหมดที่ทำให้ y หาค่าได้ และ (x,y) ∈ r           2. เมื่อต้องการหาเรนจ์ ให้จัด x ให้อยู่ในรูปของ y แล้วพิจารณาค่า y ทั้งหมดที่ทำให้ x หาค่าได้ และ (x,y) ∈ r
	ตัวอย่างเช่น กำหนด r = { (x,y) ∈ R× R | }
			1. หา Dr :
			นั่นคือ y หาค่าได้เมื่อ x-2 ≠ 0
			∴ Dr = R - {2} = { x | x ≠ 2 }
			2. หา R r :
			นั่นคือ x หาค่าได้เมื่อ y ≠ 0
			∴ Rr = R - {0} = { y | y ≠ 0 }          ในระบบแกนมุมฉาก เราสามารถจับคู่หนึ่งต่อหนึ่ง ระหว่างคู่อันดับของจำนวนจริง (x, y) กับพิกัดของจุดบนระนาบ โดยให้ x เป็นพิกัดแรก และ y เป็นพิกัดหลัง จากหลักการดังกล่าวทำให้เราสามารถเขียนกราฟของความสัมพันธ์ได้ดังนี้ บทนิยาม       ให้ R เป็นเซตของจำนวนจริง และ r เป็นสับเซตของ R× R กราฟของความสัมพันธ์ r คือ เซตของจุดบนระนาบ โดยที่แต่ละจุดแทนสมาชิกของความสัมพันธ์ R ตัวอย่างที่ 1 จงเขียนกราฟของความสัมพันธ์ r = { (x,y) ∈ A × A | x + y = 5} เมื่อกำหนดให้ A = {1, 2, 3, 4} วิธีทำ r = {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)} --------------------------------------------------------------------------- ตัวอย่างที่ 2 จงเขียนกราฟของความสัมพันธ์ r = { (x,y) ∈ R × R | y = x - 1} วิธีทำ --------------------------------------------------------------------------- ตัวอย่างที่ 3 จงเขียนกราฟของความสัมพันธ์ วิธีทำ r = { (x,y) ∈ R × R | -1 < y ≤ 2 } --------------------------------------------------------------------------- ตัวอย่างที่ 4 จงเขียนกราฟของความสัมพันธ์ วิธีทำ r = { (x,y) ∈ I × I | x + y < 1 } ---------------------------------------------------------------------------          อินเวอร์สของความสัมพันธ์ r คือ ความสัมพันธ์ซึ่งเกิดจากการสลับตำแหน่งของสมาชิกตัวหน้า และสมาชิกตัวหลัง ในแต่ละคู่อันดับที่เป็นสมาชิกของ r เขียนแทนด้วย r-1          การสลับตำแหน่งของสมาชิกตัวหน้า และสมาชิกตัวหลัง ทำได้ 2 วิธี ดังนี้ วิธีที่ 1 สลับที่ x และ y ในคู่อันดับ (x, y) แต่มีเงื่อนไขเหมือนเดิม ตัวอย่างเช่น r = {(x, y) ∈ R × R | y = 3x – 1} ∴ r-1 = {(y, x) ∈ R × R | y = 3x – 1} วิธีที่ 2 สลับที่ x และ y ในคู่อันดับ (x, y) โดยแทนที่ x ด้วย y และแทนที่ y ด้วย x แต่ คู่อันดับ (x, y ) เหมือนเดิม ตัวอย่างเช่น r = {(x, y) ∈ R × R | y = 3x – 1} r-1 = {(x, y) ∈ R × R | x = 3y – 1} ∴ r-1 = {(x, y) ∈ R × R | } สมบัติเกี่ยวกับอินเวอร์สของความสัมพันธ์ ถ้า r เป็นความสัมพันธ์จากเซต A ไปเซต B 1. r-1เป็นความสัมพันธ์จากเซต  B ไปเซต A 2. D r = R r-1 และ R r = D r-1 กราฟของอินเวอร์สของความสัมพันธ์ เราสามารถวาดกราฟของอินเวอร์สของความสัมพันธ์ได้ 2 วิธีด้วยกัน ดังนี้ วิธีที่ 1 1. หาอินเวอร์สของความสัมพันธ์ r-1 2.วาดกราฟของอินเวอร์สของความสัมพันธ์ โดยใช้เงื่อนไขที่ระบุใน r-1 ตัวอย่างเช่น r = {(x, y) ∈ R × R | y =  | x | + 2} ∴ r-1 = {(x, y) ∈ R × R | x =  | y | + 2} วิธีที่ 2 1.วาดกราฟของความสัมพันธ์ r 2.กราฟของอินเวอร์สของความสัมพันธ์ คือภาพสะท้อนของกราฟของความสัมพันธ์ r รอบแกน x = y http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/rela_d&r.html

คู่อันดับและผลคูณคาร์ทีเซียน

• คู่อันดับ
คู่อันดับประกอบด้วยสมาชิก 2 ตัว เขียนแทนคู่อันดับในรูป (a,b) โดยที่ a เป็นสมาชิกตัวหน้าและ b เป็นสมาชิกตัวหลัง อันดับของสมาชิกถือว่าสำคัญ กล่าวคือการสลับที่กันระหว่างสมาชิกทั้งสองอาจทำให้ความหมายของคู่อันดับเปลี่ยนไปได้
	สมบัติของคู่อันดับ
		1. (a,b) = (b,a) ก็ต่อเมื่อ a = b
		2. ถ้า (a,b) = (c,d) แล้วจะได้ a = c และ b = d
		3. ถ้า (a,b) ≠ (c,d) แล้วจะได้ a ≠ c หรือ b ≠ d

• ผลคูณคาร์ทีเซียน
ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และเซต B คือเซตของคู่อันดับ (a,b) ทั้งหมดซึ่ง a เป็นสมาชิกของเซต A และ b เป็นสมาชิกของเซต B และเขียนแทนด้วย A× B
	นั่นคือ A× B = { (a,b) | a ∈ A และ b ∈ B }
	สมบัติของผลคูณคาร์ทีเซียน
	กำหนด A, B และ C เป็นเซตใดๆ แล้ว
	1.	A× B ไม่จำเป็นต้องเท่ากับ B × A
		A× B = B × A ก็ต่อเมื่อ A = B หรือ A = Ø หรือ B = Ø
		A× B ≠ B × A ก็ต่อเมื่อ A ≠ B ≠ Ø
	2.	A × Ø = Ø × A = Ø
	3.	A × ( B ∪ C )	= (A× B) ∪(A × C)
		(A ∪ B) × C	= (A× C) ∪(B × C)
	4.	A × ( B ∩ C )	= (A× B) ∩ (A × C)
		(A ∩ B) × C	= (A× B) ∩ (B × C)
	5.	A × ( B - C )	= (A× B) - (A × C)
		(A - B) × C )	= (A× C) - (B × C)
	6.	ถ้า A ⊂ B แล้ว A × C ⊂ B × C
	7.	ถ้า A และ B เป็นเซตจำกัดแล้ว n( A × B ) = n(A) × n(B)
	8.	ถ้่า A เป็นเซตอนันต์ และ B เป็นเซตจำกัด ซึ่ง B ≠ Ø แล้ว A × B เป็นเซตอนันต์     http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/rela_coo.html

เรขาคณิตวิเคราะห์

ในการศึกษาเรื่องเรขาคณิตวิเคราะห์ เราจะทำการศึกษาเกี่ยวกับคุณสมบัติของจุด และเส้นตรงโดยอ้างอิงกับระบบพิกัดฉากเป็นหลัก

ระบบพิกัดฉาก ประกอบด้วย แกนพิกัดฉาก 2 แกน ได้แก่ เส้นจำนวนที่อยู่บนแกนนอน (แกน x) และเส้นจำนวนที่อยู่บนแกนตั้ง (แกน y) แกนพิกัดฉากทั้งสองนี้จะแบ่งพื้นระนาบออกเป็น 4 ส่วน เรียกพื้นที่ที่ถูกแบ่งออกเป็นส่วนๆ นี้ว่า "ควอดรันต์" (Quadrant) ซึ่งมีลักษณะดังรูป

แกน x และ แกน y ตัดกันเป็นมุมฉากที่จุด 0 เรียกจุดนี้ว่า "จุดกำเนิด" (origin) และเขียนแทนตำแหน่งของจุดบนระบบพิกัดฉากด้วย (x, y) เมื่อ x เป็นค่าที่อ่านได้จากเส้นจำนวนบนแกน x และ y เป็นค่าที่อ่านได้จากเส้นจำนวนบนแกน y

พิจารณารูปที่กำหนดให้ต่อไปนี้
จากทฤษฎีบทปิทาโกรัส จะได้ว่า
	P1P2 =
	P1P2 =
	P1P2 =
นั่นคือ ถ้า P1 (x1, y1)และ P2 (x2, y2) เป็นจุดในระบบพิกัดฉากแล้ว
ระยะห่างระหว่างจุด P1 และ P2 =

พิจารณารูปที่กำหนดให้ต่อไปนี้
จากรูป ลาก P1R ขนานกับแกน x ดังนั้นพิกัดของจุด R เป็น (x2, y1)
ลาก PQ และ P2R ขนานกับแกน y ดังนั้นพิกัดของจุด Q เป็น ( , y1)
		=
P เป็นจุดกึ่งกลางของ P1P2
∴		=
∴		=
∴	P1Q	=	P1R
∴ Q เป็นจุดกึ่งกลางของ P1R
∴	P1Q	=	QR
|  - x1 |		=	| x2 -  |
∴	- x1	=	x2 -
	2	=	x1 + x2
∴		=
และเช่นเดียวกัน		=
∴		=
	PQ	=	P2R
	| - y 1 |	=	| y2 - y1 |
∴	- y 1	=	( y2 - y1)
	2 - 2y 1	=	y2 - y1
	2	=	y1 + y2
∴		=
นั่นคือ ถ้า P( ,  ) เป็นจุดกึ่งกลางระหว่างจุด P1( x1, y1) และ P2( x2, y2) แล้ว  = และ =
พิจารณารูปที่กำหนดให้ต่อไปนี้        ถ้ากำหนดให้ m เป็นความชันของเส้นตรง L ที่ลากผ่านจุด P1( x1, y1) และ P2( x2, y2) แล้ว ความชัน m =       เราสามารถนำเอานิยามของความชันที่กล่าวมาข้างต้นไปใช้ในการอธิบายคุณสมบัติของเส้นตรง สองเส้นที่ขนานและตั้งฉากกันได้ดังนี้ ------------------------------------------------------------------- เส้นขนาน       ทฤษฎีบท เส้นตรงสองเส้นที่ไม่ขนานกับแกน y จะขนานกัน ก็ต่อเมื่อ ความชันของเส้นตรงทั้งสองเท่ากัน ------------------------------------------------------------------- เส้นตั้งฉาก        ทฤษฎีบท เส้นตรงสองเส้นที่ไม่ขนานกับแกน y จะตั้งฉากกัน ก็ต่อเมื่อ ผลคูณของความชันของเส้นตรงทั้งสองเท่ากับ -1 ------------------------------------------------------------------- 1. สมการของกราฟเส้นตรงที่ขนานกับแกน x      กำหนดให้ L เป็นเส้นตรงที่ขนานกับแกน x ดังนั้น เส้นตรง L ย่อมตั้งฉากกับแกน y และกำหนดให้เส้นตรง L ตัดแกน y ที่จุด (0, b)      ถ้า b > 0 เส้นตรง L จะอยู่เหนือแกน x และห่างจากแกน x เป็นระยะ |b| หน่วย      ถ้า b = 0 เส้นตรง L จะทับแกน x      ถ้า b < 0 เส้นตรง L จะอยู่ใต้แกน x และห่างจากแกน x เป็นระยะ |b| หน่วย สมการของกราฟเส้นตรงที่ขนานกับแกน x คือ y = b ตัวอย่างเช่น      (1) เส้นตรงที่ขนานกับแกน x และอยู่เหนือแกน x เป็นระยะ 5 หน่วย มีสมการเป็น y = 5      (2) เส้นตรงที่ขนานกับแกน x และทับแกน x มีสมการเป็น y = 0      (3) เส้นตรงที่ขนานกับแกน x และอยู่ใต้แกน x เป็นระยะ 5 หน่วย มีสมการเป็น y = -5 2. สมการของกราฟเส้นตรงที่ขนานกับแกน y      กำหนดให้ L เป็นเส้นตรงที่ขนานกับแกน y ดังนั้น เส้นตรง L ย่อมตั้งฉากกับแกน x และกำหนดให้เส้นตรง Lตัดกับแกน x ที่จุด (a, 0)      ถ้า a > 0 เส้นตรง L จะอยู่ทางขวาของแกน y และห่างจากแกน y เป็นระยะ |a| หน่วย      ถ้า a = 0 เส้นตรง L จะทับแกน y      ถ้า a < 0 เส้นตรง L จะอยู่ทางซ้ายของแกน y และห่างจากแกน y เป็นระยะ |a| หน่วย สมการของกราฟเส้นตรงที่ขนานกับแกน y คือ x = a ตัวอย่างเช่น      (1) เส้นตรงที่ขนานกับแกน y และอยู่ทางขวาของแกน y เป็นระยะ 5 หน่วย มีสมการเป็น x = 5      (2) เส้นตรงที่ขนานกับแกน y และทับแกน y มีสมการเป็น x = 0      (3) เส้นตรงที่ขนานกับแกน y และอยู่ทางซ้ายของแกน y เป็นระยะ 5 หน่วย มีสมการเป็น x = -5 3. สมการของกราฟเส้นตรงที่ไม่ขนานกับแกน x และไม่ขนานกับแกน y      กำหนดให้ L เป็นเส้นตรงที่ไม่ขนานกับแกน x และไม่ขนานกับแกน y มีความชัน = m และผ่านจุด (x1, y1) จากรูปให้ (x, y) เป็นจุดใดๆบนเส้นตรง L ∴ ความชันของเส้นตรง L ที่ลากผ่านจุด (x1, y1) และ (x, y) เท่ากับ ∴ = m y - y1 = m(x - x 1) ดังนั้นสมการของกราฟเส้นตรงที่มีความชัน m และผ่านจุด (x1, y1) คือ y - y1 = m(x - x 1) ตัวอย่างเช่น      (1) สมการของกราฟเส้นตรงที่มีความชันเท่ากับ  และผ่านจุด (1, 2) คือ       y - 2 =  (x-1) หรือ 2x - 3y +4 = 0 ระยะห่างระหว่างเส้นตรงกับจุด      ถ้ากำหนดให้ระยะทางระหว่างจุด P(x1, y1) ไปยังเส้นตรง Ax + By + C = 0 เท่ากับ d ระยะห่างระหว่างเส้น ตรง Ax + By + C = 0 กับจุด (x1, y1) คือ d =  ระยะห่างระหว่างเส้นคู่ขนาน     กำหนดเส้นตรง Ax + By + C1 = 0 และเส้นตรง Ax + By + C2 = 0 ขนานกัน ระยะห่างระหว่างเส้น ตรง Ax + By + C = 0 กับจุด (x1, y1) คือ d =     http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/geom2.html http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/geom_dis.html http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/geom_mid.html http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/geom_slo.html http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/geom_alg.html http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/geom_l&d.html