ทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น

• การหารลงตัว
	บทนิยาม	กำหนด a, b เป็นจำนวนเต็มใดๆ โดยที่ b ≠ 0 b หาร a ลงตัว ก็ต่อเมื่อ มีจำนวนเต็ม n ที่ทำให้ a = bn และเขียนแทน “b หาร a ลงตัว” ได้ด้วยสัญลักษณ์ b | a
จากบทนิยาม ถ้า b หาร a ไม่ลงตัว แสดงว่าไม่มีจำนวนเต็ม n ที่ทำให้ a = bn และ เขียนแทน “b หาร a ไม่ลงตัว” ได้ด้วยสัญลักษณ์ b † a
	ตัวอย่างเช่น	3 | 9 เพราะมี n = 3 ที่ทำให้  9 = 3n
		-5 | 10 เพราะมี n = -2 ที่ทำให้ 10 = +5n
		6 | 0 เพราะมี n = 0 ที่ทำให้ 0 = 6n
สมบัติการหารลงตัว
	ทฤษฎีบทที่ 1	กำหนด a, b, c เป็นจำนวนเต็มใดๆ ถ้า a | b และ b | c แล้วจะได้ a | c
	ทฤษฎีบทที่ 2	กำหนด a, b เป็นจำนวนเต็มบวก ถ้า a | b แล้วจะได้ a ≤ b
	ทฤษฎีบทที่ 3	กำหนด a, b, c เป็นจำนวนเต็มใดๆ ถ้า a | b และ b | c แล้วจะได้ a | bx + cy เมื่อ x, y เป็นจำนวนเต็มใดๆ
การจำแนกจำนวนเต็มบวกโดยใช้สมบัติการหารลงตัว
1.จำนวนเฉพาะ (Prime Numbers)
	บทนิยาม	จำนวนเต็ม  p จะเป็นจำนวนเฉพาะ ก็ต่อเมื่อ p ≠ 0, p ≠ 1, p ≠ -1 และถ้ามีจำนวนเต็มที่หาร p ลงตัว จำนวนเต็มนั้นต้องเป็นสมาชิกของ {-1, 1, p, -p}
2.จำนวนประกอบ (Composite Numbers)
	บทนิยาม	จำนวนเต็ม c เป็นจำนวนเต็มบวกที่มากกว่า 1 จะเป็นจำนวนประกอบ ก็ต่อเมื่อ c ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ
	นั่นคือสำหรับจำนวนเต็มบวก c ใดๆ c จะเป็นจำนวนประกอบ ก็ต่อเมื่อ มีจำนวนเต็ม m และ n ที่ต่างจาก c ที่ทำให้ c = mn
	ตัวอย่างเช่น
	จำนวนที่หาร 2 ลงตัว ได้แก่ {-1, 1, 2, -2} ∴ 2 เป็นจำนวนเฉพาะ        จำนวนที่หาร 3 ลงตัว ได้แก่ {-1, 1, 3, -3} ∴ 3 เป็นจำนวนเฉพาะ        จำนวนที่หาร 4 ลงตัว ได้แก่ {-4, -2, -1, 1, 2, 4} ∴ 4 ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ
• ขั้นตอนวิธีการหาร
	ถ้า a และ b เป็นจำนวนเต็ม โดยที่ b ≠ 0 แล้วจะมี q และ r ซึ่งเป็นจำนวนเต็มที่ทำให้                      a = bq + r เมื่อ 0 r |b| นั่นคือ a เป็นตัวตั้งหารด้วย b ได้ผลหารคือ q และเศษ r
	ตัวอย่างที่ 1	กำหนด a = 48, b = 7 จงหา q และ r
		เขียนให้อยู่ในรูป	a = bq + r
			48 = 7 × 6 +6
		∴	q = 6 และ r = 6
• ตัวหารร่วม
	ตัวหารร่วม
	กำหนด a และ b เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์ เรียกจำนวนเต็ม c      ซึ่ง c | a และ c | b ว่าเป็น “ตัวหารร่วม” ของ a และ b
	ตัวหารร่วมมาก
	กำหนด a และ b เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน เรียกจำนวนเต็มบวก d ที่มีค่ามากที่สุด ซึ่ง d | a และ d | b ว่าเป็น “ตัวหารร่วมมาก” (ห.ร.ม.) ของ a และ b เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ (a, b)
	ตัวอย่างเช่น	จงหา ห.ร.ม. ของ 36 และ 48
	วิธีทำ	ตัวหารร่วมของ 36 ได้แก่ ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±9, ±12, ±18, ±36
		ตัวหารร่วมของ 48 ได้แก่ ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12, ±16, ±24, ±48
	∴	ตัวหารร่วมที่เป็นบวกของ 36 และ 48 ได้แก่ 1, 2, 3, 4, 6, 12
	∴	ตัวหารร่วมที่เป็นบวกของ 36 และ 48 ที่มีค่ามากที่สุด คือ12
		นั่นคือ ห.ร.ม. ของ 36 และ 48 คือ 12
การหาตัวหารร่วมมากโดยใช้ขั้นตอนวิธีของยุคลิด
	ตัวอย่างเช่น	จงหา ห.ร.ม. ของ 36 และ 48
	วิธีทำ
	ในที่นี้ rk = 12      ดังนั้น ห.ร.ม. ของ 36 และ 48 คือ 12
จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์
	บทนิยาม	จำนวนเต็ม a และ b จะเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันก็ต่อเมื่อ (a, b) = 1
• ตัวคูณร่วมน้อย
	ตัวคูณร่วมน้อย
	กำหนด a และ b เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์ เรียกจำนวนเต็มบวก c ที่มีค่าน้อยที่สุด ซึ่ง a | c และ b | c ว่าเป็น "ตัวคูณร่วมน้อย" (ค.ร.น.) ของ a และ b เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ [a, b]
	ตัวอย่างเช่น	จงหา ค.ร.น. ของ 36 และ 24
	วิธีทำ	พหุคูณที่เป็นบวกของ 36 ได้แก่ 36, 72, 108, 144, ...
	∴	พหุคูณที่เป็นบวกของ 24 ได้แก่ 24, 48, 72, 96, 120, 144, ...
	∴	พหุคูณร่วมที่เป็นบวกของ 36 และ 24 ได้แก่ 72, 144, ...
		พหุคูณร่วมที่เป็นบวกของ 36 และ 24 ที่มีค่าน้อยที่สุด คือ 72
		นั่นคือ ค.ร.น. ของ 36 และ 24 คือ 72

ความคิดทางเรขาคณิต

ความคิดทางเรขาคณิต

          รูปทรงเรขาคณิต เป็นรูปที่ประกอบด้วยจุด เส้นตรง ส่วนโค้งต่าง ๆ และถ้าอยู่ในระนาบเดียวกัน เราก็เรียกว่ารูประนาบ แต่ถ้าหากเป็นรูปทรงที่มีความหนา ความลึก ความสูง เราก็เรียกว่ารูปสามมิติ            หากเราหยิบภาชนะต่าง ๆ ที่อยู่รอบตัวเราขึ้นมาจะพบว่าประกอบด้วย รูปทรงเรขาคณิต หลากหลายรวมกัน ความคิดเกี่ยวกับรูปทรงเรขาคณิตในแนวทางคณิตศาสตร์มีพัฒนาการมายาวนานหลายพันปีแล้ว




 รูปทรงเรขาคณิตแบบต่าง ๆ             

             รูปทรงกลม ลูกบอล แก้วน้ำ ภาชนะถ้วยชามต่าง ๆ ประกอบเป็นรูปร่างแบบต่าง ๆ ดังนั้นการจะอธิบายหรือออกแบบสิ่งต่าง ๆ จำเป็นต้องอาศัยทฤษฎีทางเรขาคณิต
             ปัจจุบันประเทศไทยกำลังจะมีรถไฟใต้ดิน ลองนึกดูว่า ถ้าจะเจาะอุโมงค์ จากที่หนึ่งให้ทะลุหรือชนกับการเจาะมาจากอีกแนวหนึ่งได้ ต้องใช้หลักการทางเรขาคณิตมาช่วย
            นักคณิตศาสตร์ เริ่มจากการกำหนดจุด จุดซึ่งไม่มีขนาด ไม่มีมิติ และถ้าเราให้จุดเคลื่อนที่แนวทางการเคลื่อนที่ของจุด ก่อให้เกิดเส้น
             หากหยิบแผ่นกระดาษมาหนึ่งแผ่น ผิวของแผ่นกระดาษเรียกว่าระนาบ รูปที่เกิดบนกระดาษนี้เรียกว่ารูประนาบ และถ้าดูที่ผิวของถ้วยแก้วที่เป็นรูปทรงกระบอก เราก็จะเห็นผิวโค้ง ซึ่งเราอาจมองรูปผิวโค้งของถ้วยแก้วในลักษณะสามมิติ

จุดไม่มีมิติ

เส้นตรงมี 1 มิติ

ระนาม 2 มิติ

กล่องมี 3 มิติ

มิติต่าง ๆ ของรูปทรงเรขาคณิต            

                 ในยุคสมัยบาบิโลน มีหลักฐานชัดเจนว่าได้มีการพิสูจน์ให้เห็นถึงทฤษฎีความสัมพันธ์ของด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก การพิสูจน์กฎเกณฑ์นี้มีมาก่อนที่พีธากอรัสเกิดถึงกว่าพันปี (พีอากอรัสเกิดเมื่อ 572 ก่อนคริสตกาล) แต่พีธากอรัสได้พิสูจน์และแสดงหลักฐานต่าง ๆ ให้โลกได้รับรู้ และต่อมาได้ยอมรับว่าทฤษฎีบทที่ว่าด้วยเรขาคณิตที่เกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เรียกว่า ทฤษฎีบทพีธากอรัส

ทฤษฎีบทพีธากอรัส
            ทฤษฎีบทของพีธากอรัสในเรื่อง ความสัมพันธ์ของด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก  พีธากอรัสมีวิธีการพิสูจน์ โดยใช้หลักการของรูปสี่เหลี่ยมจตุรัสสองรูปที่อยู่บนระนาบ ดังแสดง

พื้นที่ = c2 พื้นที่ = ab/2 พื้นที่ = (a + b)(a + b)

นั่นคือ	พื้นที่รูปที่	+	4 (พื้นที่รูปที่ )	=	พื้นที่รูปที่
	c2	+	4 (ab/2)	=	(a + b)2
	c2	+	2ab	=	a2 + 2ab + b2
			c2	=	a2 + b2

http://web.ku.ac.th/schoolnet/snet2/history_math/math_geo.htm http://web.ku.ac.th/schoolnet/snet2/history_math/pytha_theory.htm

ลำดับ (Sequence)

ลำดับ (Sequence)

ในอดีตกลุ่มปีทาโกเรียนสร้างจำนวนเชิงรูปภาพขึ้น เพื่อแสดงความสัมพันธ์ระหว่างเรขาคณิตกับ เลขคณิต เช่น จำนวนเชิงสามเหลี่ยม และ จำนวนเชิงสี่เหลี่ยม

จำนวนเชิงสามเหลี่ยม 5 จำนวนแรก
จำนวนเชิงสี่เหลี่ยม 5 จำนวนแรก

จำนวนเชิงสามเหลี่ยม ได้แก่ 1, 3, 6, 10, 15, ... ซึ่งมีจำนวนมากมายนับไม่ถ้วน

จำนวนเชิงสี่เหลี่ยม ได้แก่ 1, 4, 9, 16, 25, ... ซึ่งมีจำนวนมากมายนับไม่ถ้วนเช่นกัน

  จำนวนเชิงสามเหลี่ยม และ จำนวนเชิงสี่เหลี่ยม เป็น ตัวอย่างของลำดับ ที่เรียกว่า ลำดับอนันต์ (Infinite Sequence)
ฟังก์ชัน ที่มี โดเมน เป็นเซตของจำนวนเต็มบวก 

ตัวอย่าง

นำจำนวนเชิงสี่เหลี่ยมมาเขียนในตาราง เพื่อแสดงความสัมพันธ์ระหว่าง 
รูปที่ กับ จำนวนเม็ดสีในแต่ละรูป ได้ดังนี้

รูปที่	1	2	3	4	5	...
จำนวนเม็ดสี	1	4	9	16	25	...

ความสัมพันธ์นี้คือ f = {(1, 1), (2, 4), (3,9), (4, 16), (5, 25), ...}โดเมน   คือ D_f = { 1, 2, 3, 4, 5, … }
เรนจ์   คือ R_f = { 1, 4, 9, 16, 25, …}
เราเรียก 1, 4, 9, 16, 25, ... ว่า    ลำดับอนันต์ (Infinite Sequence)
เพราะมีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวกซึ่งมีจำนวนมากมายนับไม่ถ้วน


จำนวนเชิงสามเหลี่ยม 5 จำนวนแรก และ จำนวนเชิงสี่เหลี่ยม 5 จำนวนแรก เป็น ตัวอย่างของลำดับ ที่เรียกว่า ลำดับจำกัด (Finite Sequence)
ฟังก์ชัน ที่มี โดเมน เป็นเซตของจำนวนเต็มบวก n จำนวนแรก ตัวอย่าง ในช่วงวันหยุด 4 วัน นิภาได้วิ่งออกกำลังกายทุกเช้า โดยเริ่มวันแรกด้วยการวิ่งรอบสระน้ำ 3 รอบ และทุก ๆ วันถัดไปวิ่งเพิ่มขึ้นจากวันก่อนวันนั้น ๆ อีก 3 รอบ
เขียนตารางแสดงความสัมพันธ์ระหว่าง วันที่วิ่ง กับ จำนวนรอบที่วิ่ง ได้ดังนี้    

วันที่	1	2	3	4
จำนวนรอบ	3	6	9	12

ความสัมพันธ์ระหว่าง วันที่วิ่ง กับ จำนวนรอบที่วิ่ง เป็น ฟังก์ชัน ที่มีโดเมน   =   {1, 2, 3, 4}   เรนจ์     =  { 3, 6, 9, 12 }เราเรียก 3, 6, 9, 12  ว่า  ลำดับจำกัด (Finite Sequence)เพราะมีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวกเพียง n จำนวนแรก (n = 1, 2, 3, 4)

http://web.ku.ac.th/schoolnet/snet2/knowledge_math/sequence/sequenc1.html

ยูคลิด (Euclid)

ยูคลิด (Euclid)

ยูคลิดเป็นนักคณิตศาสตร์ที่สำคัญ และเป็นที่รู้จักกันดี ยูคลิดเกิดที่เมืองอเล็กซานเดรีย ประเทศอิยิปต์ เมื่อราว 365 ปี ก่อนคริสตกาล เมื่อมีชีวิตอยู่จนกระทั่งประมาณปี 300 ก่อนคริสตกาล สิ่งที่มีชื่อเสียงคือผลงานเรื่อง The Elements หลักฐานและเรื่องราวเกี่ยวกับตัวยูคลิดยังคงสับสน เพราะมีผู้เขียนไว้หลายรูปแบบ อย่างไรก็ตามผลงานเรื่อง The Elements ยังคงหลงเหลืออยู่จนถึงทุกวันนี้ จากหลักฐานที่สับสนทำให้สันนิษฐานที่เกี่ยวกับยูคลิดมีหลายแนวทาง เช่น ยูคลิดเป็นบุคคลที่เขียนเรื่องThe Element หรือยูคลิดเป็นหัวหน้าทีมนักคณิตศาสตร์ที่อาศัยอยู่ที่อเล็กซานเดรีย และได้ช่วยกันเขียนเรื่อง The Elements อย่างไรก็ดีส่วนใหญ่ก็มั่นใจว่ายูคลิดมีตัวตนจริง และเป็นปราชญ์อัจฉริยะทางด้านคณิตศาสตร์ที่มีชีวิตในยุคกว่า 2,000 ปี ผลงาน The Elements แบ่งออกเป็นหนังสือได้ 13 เล่ม ใน 6 เล่มแรกเป็นผลงานเกี่ยวกับเรขาคณิต เล่ม 7, 8 และ 9 เป็นเรื่องราวเกี่ยวกับทฤษฎีตัวเลข เล่ม 10 เป็นเรื่องราวเกี่ยวกับทฤษฎีที่ว่าด้วยจำนวนอตักยะ เล่ม 11, 12 และ 13 เกี่ยวข้องกับเรื่องราว รูปเรขาคณิตทรงตัน และปิดท้ายด้วยการกล่าวถึงรูปทรงหลายเหลี่ยม และข้อพิสูจน์เกี่ยวกับรูปทรงหลายเหลี่ยม ผลงานของยูคลิดเป็นที่ยอมรับอย่างกว้างขวางมาก และกล่าวกันว่าผลงาน The Elements เป็นผลงานที่ต่อเนื่อง และดำเนินมาก่อนแล้วในเรื่องผลงานของนักคณิตศาสตร์ยุคก่อน เช่น ทาลีส (Thales), ฮิปโปเครตีส (Hippocrates) และพีธากอรัส อย่างไรก็ตาม หลายผลงานที่มีในหนังสือนี้เป็นที่เชื่อกันว่าเป็นบทพิสูจน์และผลงานของยูคลิดเอง ผลงานของยูคลิดที่ได้รับการนำมาจัดทำใหม่ และตีพิมพ์เผยแพร่ครั้งแรกในปี ค.ศ. 1482 หลังจากนั้นมีผู้นำมาตีพิมพ์อีกมากมายนับจำนวนครั้งไม่ถ้วน ตัวอย่าง อัลกอริทึมการหา ห.ร.ม. หลักการหา ห.ร.ม.ที่ง่ายที่สุดและรู้จักกันดีจนถึงปัจจุบันคือ ให้นำตัวเลขจำนวนน้อยหารตัวเลขจำนวนมาก เศษที่เหลือมาเทียบกับเลขจำนวนน้อย จับหารกันไปเรื่อย ๆ ทำเช่นนี้จนลงตัว ได้ ห.ร.ม. เป็นเลขที่ลงตัวตัวสุดท้าย ดังตัวอย่าง การหา ห.ร.ม. ของ 330 กับ 140 a = bq1 + r2 , 0  <  r2  <  b ;  330 = 140 . 2 + 50; b = r2q2 + r3 , 0  <  r3  <  r2 ;  180 = 50 . 2 + 40; r2 = r3q3 + r4 , 0  <  r4  <  r3 ;  50 = 40 . 1 + 10; .......... ..........  40 = 10 . 4 rn-2 = rn-1qn-1 + rn , 0  <  rn  <  rn-1 ; rn-1 = rnqn ห.ร.ม. ของ (330, 140) คือ 10 ผลงานของยูคลิดยังมีอีกมากมาย โดยเฉพาะในเรื่องราวเกี่ยวกับตัวเลข ปรากฎการณ์ทางธรรมชาติ เรื่องของแสง ทางเดินของจุดบนเส้นโค้งและผิวโค้ง รูปกรวย และยังมีหลักการทางดนตรี  อย่างไรก็ตาม หลักสูตรหลายอย่างได้สูญหายไป http://www.trueplookpanya.com/true/knowledge_detail.php?mul_content_id=288

รูปทรงและปริมาตร

1. รูปทรง รูปทรง คือ สิ่งที่มองเห็นทั้งส่วนที่เป็นพื้นผิว ส่วนลึก ส่วนหนา ส่วนสูง ฯลฯ 2. ทรงกลม เป็นรูปทรงผิวโค้งเรียบ เช่น ลูกบอล  3. ทรงกระบอก  ทรงกระบอก เป็นรูปทรงที่มีหน้าตัด (ฐาน) ทั้งสองข้างเป็นรูปวงกลมที่เท่ากัน ทุกประการ และมีหน้าข้างโค้ง 4. กรวย  กรวย เป็นเป็นรูปทรงที่มีฐานเป็นรูปวงกลม มีจุดยอดแหลม และมีหน้าข้างโค้ง 5. ปริซึม  ปริซึม เป็นรูปทรงที่มีหน้าตัด(ฐาน) ทั้งสองข้างเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการ มีหน้าข้างเป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก การเรียกชื่อปริซึมจะเรียกตามรูปหน้าตัดของปริซึม 6.พีระมิด  พีระมิด เป็นรูปทรงที่มีฐานเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยม มียอดแหลมและมีด้าน ข้างเป็นรูปสามเหลี่ยม การเรียกตามชื่อรูปที่ฐานของพีระมิด 7. ปริมาตร  ปริมาตร เป็นขนาดของรูปทรง การหาปริมาตรเป็นการหาขนาดของรูป ทรงตัน ส่วนการหาความจุเป็นการหาปริมาตรภายในของรูปทรงที่กลวง ปริมาตรสี่เหลี่ยมมุมฉาก = กว้าง x ยาว x สูง = พื้นที่ฐาน x สูง ลูกบาศก์หน่วย 8. การเปรียบเทียบหน่วยวัดปริมาตร  1 ลิตร เท่ากับ 1,000 มิลลิลิตร 1 มิลลิลิตร เท่ากับ 1 ลูกบาศก์เซนติเมตร 1 ลิตร เท่ากับ 1,000 ลูกบาศก์เซนติเมตร http://www.tutormaths.com/pratom14.htm

สัจพจน์ของความบริบรูณ์

	สัจพจน์ความบริบูรณ์ หรือสัจพจน์การมีค่าขอบเขตบนน้อยสุด (Least upper bound axiom) บทนิยาม ถ้า S เป็นสับเซตของ R   S จะมีขอบเขตบนก็ต่อเมื่อ มีจำนวนจริง a ที่ทำให้ x ≤ a   สำหรับจำนวนจริง x ทุกตัวใน S เรียกจำนวนจริง a นี้ว่า "ขอบเขตบนของ S"     บทนิยาม ถ้า S เป็นสับเซตของ R   a จะเป็นขอบเขตบนน้อยสุดของ S ก็ต่อเมื่อ   1. a เป็นขอบเขตบนของ S   2. ถ้า b เป็นขอบเขตบนของ S แล้วจะได้ว่า a ≤ b     • สัจพจน์การมีค่าขอบเขตบนน้อยสุด        ถ้า S เป็นสับเซตของ R โดยที่ S ≠ Ø และ S มีขอบเขตบนแล้ว S จะมีค่าขอบเขตบนน้อยสุด ------------------------------------------------------------------- ตัวอย่างที่ 1 ให้ S เท่ากับช่วงปิด [1, 6]   จะได้ว่า 6 และจำนวนจริงทุกตัวที่มากกว่า 6 เป็นขอบเขตบนของ S และขอบเขตบนน้อยสุดคือ 6 ------------------------------------------------------------------- ตัวอย่างที่ 2 ให้ S เท่ากับช่วงเปิด (2, 7)   จะได้ว่า 7 และจำนวนจริงทุกตัวที่มากกว่า 7 เป็นขอบเขตบนของ S และขอบเขตบนน้อยสุดคือ 7 ------------------------------------------------------------------- ตัวอย่างที่ 3 ให้ S = {1, 0, 3, 5, 4}   จะได้ว่า 5 และจำนวนจริงทุกตัวที่มากกว่า 5 เป็นขอบเขตบนของ S และขอบเขตบนน้อยสุดคือ 5 ------------------------------------------------------------------- ตัวอย่างที่ 4 ให้ S = [-2, ∞]   จะได้ว่า S ไม่มีขอบเขตบน ------------------------------------------------------------------- ตัวอย่างที่ 5 ให้ S ≠ Ø   จะได้ว่า จำนวนจริงทุกจำนวนเป็นค่าขอบเขตบนของ S ดังนั้นเซตว่างจึงไม่มีขอบเขตบนน้อยสุด
	http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/real_tau.html

ค่าสัมบูรณ์

บทนิยาม กำหนดให้ a เป็นจำนวนจริง
	นั่นคือ ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนจริงใดๆ ต้องมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับศูนย์เสมอ
• สมบัติของค่าสัมบูรณ์
	1. |x| = |-x|
	2. |xy| = |x||y|
	3. =
	4. | x - y | = | y - x |
	5. |x|2 = x2
	6. | x + y | ≤ |x| +|y|
	7. เมื่อ a เป็นจำนวนจริงบวก
	|x| < a หมายถึง -a < x < a
	|x| ≤ a หมายถึง -a ≤ x ≤ a
	8. เมื่อ a เป็นจำนวนจริงบวก
	|x| > a หมายถึง x < -a หรือ x > a
	|x| ≥ a หมายถึง x ≤ -a หรือ x ≥ a                 http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/real_abs.html