รูป
ปัจจุบัน
นัก
หาก
 จุด |  เส้น |  ระ |  กล่อง |
 |  |
|
| นั่น | พื้น | + | 4 (พื้น ) | = | พื้น |
| c2 | + | 4 (ab/2) | = | (a + b)2 | |
| c2 | + | 2ab | = | a2 + 2ab + b2 | |
| c2 | = | a2 + b2 |
วันจันทร์ที่ 19 ธันวาคม พ.ศ. 2554
ความคิดทางเรขาคณิต
รูป
ปัจจุบัน
นัก
หาก
ลำดับ (Sequence)
จำนวนเชิงสามเหลี่ยม 5 จำนวนแรก
จำนวนเชิงสี่เหลี่ยม 5 จำนวนแรก
จำนวนเชิงสามเหลี่ยม ได้แก่ 1, 3, 6, 10, 15, ... ซึ่งมีจำนวนมากมายนับไม่ถ้วน
จำนวนเชิงสี่เหลี่ยม ได้แก่ 1, 4, 9, 16, 25, ... ซึ่งมีจำนวนมากมายนับไม่ถ้วนเช่นกัน
ฟังก์ชัน ที่มี โดเมน เป็นเซตของจำนวนเต็มบวก
| ตัวอย่าง | |
รูปที่ กับ จำนวนเม็ดสีในแต่ละรูป ได้ดังนี้
เรนจ์ คือ Rf = { 1, 4, 9, 16, 25, …}
เราเรียก 1, 4, 9, 16, 25, ... ว่า ลำดับอนันต์ (Infinite Sequence)
เพราะมีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวกซึ่งมีจำนวนมากมายนับไม่ถ้วน
จำนวนเชิงสามเหลี่ยม 5 จำนวนแรก และ จำนวนเชิงสี่เหลี่ยม 5 จำนวนแรก เป็น ตัวอย่างของลำดับ ที่เรียกว่า ลำดับจำกัด (Finite Sequence)
ยูคลิด (Euclid)
อย่าง
| ||||||||||||||||||||||||||||||||
วันเสาร์ที่ 17 ธันวาคม พ.ศ. 2554
รูปทรงและปริมาตร
| 1. รูปทรง 2. ทรงกลม เป็นรูปทรงผิวโค้งเรียบ เช่น ลูกบอล  3. ทรงกระบอก  4. กรวย  5. ปริซึม  6.พีระมิด  7. ปริมาตร 8. การเปรียบเทียบหน่วยวัดปริมาตร http://www.tutormaths.com/pratom14.htm |
สัจพจน์ของความบริบรูณ์
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/real_tau.html | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ค่าสัมบูรณ์
| บทนิยาม กำหนดให้ a เป็นจำนวนจริง | |||||
 | |||||
| นั่นคือ ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนจริงใดๆ ต้องมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับศูนย์เสมอ | |||||
| • สมบัติของค่าสัมบูรณ์ | |||||
| 1. |x| = |-x| | |||||
| 2. |xy| = |x||y| | |||||
| |||||
| 4. | x - y | = | y - x | | |||||
| 5. |x|2 = x2 | |||||
| 6. | x + y | ≤ |x| +|y| | |||||
| 7. เมื่อ a เป็นจำนวนจริงบวก | |||||
| |x| < a หมายถึง -a < x < a | |||||
| |x| ≤ a หมายถึง -a ≤ x ≤ a | |||||
| 8. เมื่อ a เป็นจำนวนจริงบวก | |||||
| |x| > a หมายถึง x < -a หรือ x > a | |||||
| |x| ≥ a หมายถึง x ≤ -a หรือ x ≥ a http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/real_abs.html | |||||
การแก้สมการตัวแปรเดียว
| บทนิยาม | สมการพหุนามตัวแปรเดียว คือ สมการที่อยู่ในรูป | |||||
| anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 = 0 | ||||||
| เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก และ an, an-1, an-2 ,..., a1, a0 เป็นจำนวนจริง ที่เป็นสัมประสิทธิ์ของพหุนาม โดยที่ an ≠ 0 เรียกสมการนี้ว่า "สมการพหุนามกำลัง n" | ||||||
ตัวอย่างเช่น
| x3 - 2x2 + 3x -4 = 0 | |||||
| 4x2 + 4x +1 = 0 | ||||||
| 2x4 -5x3 -x2 +3x -1 = 0 | ||||||
| • การแ้ก้สมการพหุนามเมื่อ n > 2 | ||||||
| สมการพหุนามกำลัง n ซึ่งอยู่ในรูป anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 = 0 เมื่อ n > 2 และ an, an-1, an-2 ,..., a1, a0 เป็นจำนวนจริง โดยที่ an ≠ 0 จะสามารถหาคำตอบของสมการพหุนามกำลัง n นี้ได้โดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือช่วยในการแยกตัวประกอบ | ||||||
| ทฤษฎีบทเศษเหลือ | ||||||
| เมื่อ f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 | ||||||
| โดย n > 2 และ an, an-1, an-2 ,..., a1, a0 เป็นจำนวนจริง และ an ≠ 0 | ||||||
| ถ้าหารพหุนาม f(x) ด้วยพหุนาม x - c เมื่อ c เป็นค่าคงตัวใดๆแล้ว เศษของ | ||||||
| การหารจะมีค่าเท่ากับ f(c) | ||||||
| ||||||
| ทฤษฎีบทตัวประกอบ | ||||||
| เมื่อ f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 | ||||||
| โดย n > 2 และ an, an-1, an-2 ,..., a1, a0 เป็นจำนวนจริง และ an ≠ 0 | ||||||
| พหุนาม f(x) นี้จะมี x - c เป็นตัวประกอบ ก็ต่อเมื่อ f(c) = 0 | ||||||
| ||||||
| แสดงว่า x - c หาร f(c) ได้ลงตัว | ||||||
| นั่นคือ x - c เป็นตัวประกอบของ f(x) | ||||||
| ทฤษฎีบทตัวประกอบจำนวนตรรกยะ | ||||||
| เมื่อ f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 | ||||||
| โดย n > 2 และ an, an-1, an-2 ,..., a1, a0 เป็นจำนวนจริง และ an ≠ 0 | ||||||
ถ้า x - เป็นตัวประกอบของพหุนามของ f(x) โดยที่ m และ k เป็นจำนวนเต็ม | ||||||
| ซึ่ง m ≠ 0 และ ห.ร.ม. ของ m และ k เท่ากับ 1 แล้ว | ||||||
| (1) m จะเป็นตัวประกอบของ an | ||||||
| (2) k จะเป็นตัวประกอบของ a0 | ||||||
| ขั้นตอนการหาคำตอบของสมการโดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ มีดังนี้ | ||||||
| 1. ถ้า an = 1 ให้หาตัวประกอบ c ของ a0 และตัวประกอบ m ของ an ที่ทำให้ | ||||||
| f() = 0 ตามทฤษฎีบทตัวประกอบจำนวนตรรกยะ | ||||||
| ||||||
| จะเป็นพหุนามที่มีดีกรีต่ำกว่าดีกรีของ f(x) อยู่ 1 | ||||||
| 3. ถ้าผลหารในข้อ 2. ยังมีดีกรีสูงกว่า 2 ให้แยกตัวประกอบต่อไปอีก โดยใช้วิธีตามข้อ 1. และ 2. | ||||||
| ------------------------------------------------------------------- | ||||||
| ตัวอย่างที่ 1 | จงหาเซตคำตอบของสมการ x3 - 2x2 - x + 2= 0 | |||||
| วิธีทำ | ให้ f(x) = x3 - 2x2 - x + 2 | |||||
| ∴ f(1) = 1 - 2 -1 + 2 = 0 | ||||||
| ∴ x - 1 เป็นตัวประกอบของ f(x) | ||||||
| ||||||
| x3 - 2x2 - x + 2 = (x-1)(x2 - x - 2) | ||||||
| = (x-1)(x-2)(x+1) | ||||||
| x3 - 2x2 - x + 2 = 0 | ||||||
| (x-1)(x-2)(x+1) = 0 | ||||||
| x = 1, 2, -1 | ||||||
| ∴เซตคำตอบของสมการนี้คือ {-1, 1, 2} | ||||||
| ------------------------------------------------------------------- | ||||||
| ตัวอย่างที่ 2 | จงหาเซตคำตอบของสมการ x3 - 10x2 + 27x -18 = 0 | |||||
| วิธีทำ | ให้ f(x) = x3 - 10x2 + 27x -18 | |||||
| ∴ f(1) = 1 - 10 + 27 -18 = 0 | ||||||
| ∴ x - 1 เป็นตัวประกอบของ f(x) | ||||||
| ∴ x3 - 10x2 + 27x -18 = (x-1)(x2 - 9x + 18) | ||||||
| = (x-1)(x-3)(x-6) | ||||||
| x3 - 10x2 + 27x -18 = 0 | ||||||
| (x - 1) (x - 3) (x - 6) = 0 | ||||||
| x = 1, 3, 6 | ||||||
| ∴เซตคำตอบของสมการนี้คือ {1, 3, 6} | ||||||
| ------------------------------------------------------------------- | ||||||
| ตัวอย่างที่ 3 | จงหาเซตคำตอบของสมการ x3 - x2 - 5x -3 = 0 | |||||
| วิธีทำ | ให้ f(x) = x3 - x2 - 5x -3 | |||||
| ∴ f(3) = 33 -32 -5(3) - 3= 0 | ||||||
| = 27 - 9 - 15 - 3 | ||||||
| = 0 | ||||||
| ∴ x - 3 เป็นตัวประกอบของ f(x) | ||||||
| ∴ x3 - x2 - 5x -3 = (x-3)(x2 + 2x + 1) | ||||||
| = (x-3)(x+1)(x+1) | ||||||
| x3 - x2 - 5x - 3 = 0 | ||||||
| (x-3)(x+1)(x+1) = 0 | ||||||
| x = 3, -1 | ||||||
| ∴เซตคำตอบของสมการนี้คือ {-1, 3} | ||||||
| ------------------------------------------------------------------- | ||||||
| ตัวอย่างที่ 4 | จงหาเซตคำตอบของสมการ 2x3 - 3x2 - 17x +30 = 0 | |||||
| วิธีทำ | ให้ f(x) = 2x3 - 3x2 - 17x +30 | |||||
| ∴ f(2) = 2(2)3 -3(2)2 -17(2) +30 = 0 | ||||||
| = 16 - 12 - 34 +30 | ||||||
| = 0 | ||||||
| ∴ x - 2 เป็นตัวประกอบของ f(x) | ||||||
| ∴ 2x3 - 3x2 - 17x +30 = (x-2)(2x2 + x - 15) | ||||||
| = (x-2)(2x - 5)(x+3) | ||||||
| 2x3 - 3x2 - 17x + 30 = 0 | ||||||
| (x - 2)(2x - 5)(x + 3) = 0 | ||||||
| ||||||
| ||||||
| ------------------------------------------------------------------- | ||||||
| ตัวอย่างที่ 5 | จงหาเซตคำตอบของสมการ 6x3 + 11x2 - 4x - 4 = 0 | |||||
| วิธีทำ | ให้ f(x) = 6x3 + 11x2 - 4x - 4 | |||||
| ∴ f(-2) = 6(-2)3 -11(-2)2 -4(-2) - 4= 0 | ||||||
| = -48 + 44 + 8 - 4 | ||||||
| = 0 | ||||||
| ∴ x + 2 เป็นตัวประกอบของ f(x) | ||||||
| ∴ 6x3 + 11x2 - 4x - 4 = (x+2)(6x2 - x - 2) | ||||||
| = (x+2)(3x-2)(2x+1) | ||||||
| 6x3 + 11x2 - 4x - 4= 0 | ||||||
| (x +- 2)(3x - 2)(2x + 1) = 0 | ||||||
| ||||||
| ||||||
| -----------------------------------http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/real_sol.html-------------------------------- | ||||||
ระบบจำนวนจริง
| • ระบบจำนวนจริง | ||
| จากแผนผังแสดงความสัมพันธ์ของจำนวนข้างต้น จะพบว่า ระบบจำนวนจริง จะประกอบไปด้วย | ||
| 1. จำนวนอตรรกยะ หมายถึง จำนวนที่ไม่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็ม หรือทศนิยมซ้ำได้ ตัวอย่างเช่น √2 , √3, √5, -√2, - √3, -√5 หรือ ¶ ซึ่งมีค่า 3.14159265... | ||
| 2. จำนวนตรรกยะ หมายถึง จำนวนที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มหรือทศนิยมซ้ำได้ ตัวอย่างเช่น | ||
 | เขียนแทนด้วย 0.5000... | |
 | เขียนแทนด้วย 0.2000... | |
 | ||
 | ||
| • ระบบจำนวนตรรกยะ | ||
| จำนวนตรรกยะยังสามารถแบ่งเป็น 2 ประเภท คือ | ||
| 1. จำนวนตรรกยะที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม หมายถึง จำนวนที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนหรือทศนิยมซ้ำได้ แต่ไม่เป็นจำนวนเต็ม ตัวอย่างเช่น | ||
| 2. จำนวนเต็ม หมายถึง จำนวนที่เป็นสมาชิกของเซต I = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...} เมื่อกำหนดให้ I เป็นเซตของจำนวนเต็ม | ||
| • ระบบจำนวนเต็ม | ||
| จำนวนเต็มยังสามารถแบ่งได้อีกเป็น 3 ประเภทด้วยกัน | ||
 | ||
| 1. จำนวนเต็มลบ หมายถึง จำนวนที่เป็นสมาชิกของเซต I - โดยที่ I - = {..., -4, -3, -2, -1} เมื่อ I - เป็นเซตของจำนวนเต็มลบ | ||
| 2. จำนวนเต็มศูนย์ (0) | ||
| 3. จำนวนเต็มบวก หมายถึง จำนวนที่เป็นสมาชิกของเซต I+ โดยที่ I+ = {1, 2, 3, 4, ...} เมื่อ I+ เป็นเซตของจำนวนเต็มบวก | ||
| จำนวนเต็มบวก เรียกได้อีกอย่างว่า "จำนวนนับ" ซึ่งเขียนแทนเซตของจำนวนนับได้ด้วยสัญลักษณ์ N โดยที่ N = I+ = {1, 2, 3, 4, ...} | ||
| • ระบบจำนวนเชิงซ้อน | ||
| นอกจากระบบจำนวนจริงที่กล่าวมาข้างต้นแล้ว ยังมีจำนวนอีกประเภทหนึ่ง ซึ่งได้จากการแก้สมการต่อไปนี้ | ||
| x2 = -1 | ∴ x = √-1 = i | |
| x2 = -2 | ∴ x = √-2 = √2 i | |
| x2 = -3 | ∴ x = √-3 = √3 i | |
| จะเห็นได้ว่า “ไม่สามารถจะหาจำนวนจริงใดที่ยกกำลังสองแล้วมีค่าเป็นลบ” เราเรียก √-1 หรือจำนวนอื่นๆ ในลักษณะนี้ว่า “จำนวนจินตภาพ”และเรียก i ว่า "หนึ่งหน่วยจินตภาพ" เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ i | ||
| ยูเนียนของเซตจำนวนจริงกับเซตจำนวนจินตภาพ คือ " เซตจำนวนเชิงซ้อน " (Complex numbers) | ||
| • สมบัติการเ่ท่ากันของจำนวนจริง | ||||
| กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ | ||||
| 1. สมบัติการสะท้อน a = a | ||||
| 2. สมบัติการสมมาตร ถ้า a = b แล้ว b = a | ||||
| 3. สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a = b และ b = c แล้ว a = c | ||||
| 4. สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c | ||||
| 5. สมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a = b แล้ว ac = bc | ||||
| • สมบัติการบวกในระบบจำนวนจริง | ||||
| กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ | ||||
| 1. สมบัติปิดการบวก a + b เป็นจำนวนจริง | ||||
| 2. สมบัติการสลับที่ของการบวก a + b = b + c | ||||
| 3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มการบวก a + ( b + c) = ( a + b ) + c | ||||
| 4. เอกลักษณ์การบวก 0 + a = a = a + 0 | ||||
| นั่นคือ ในระบบจำนวนจริงจะมี 0 เป็นเอกลักษณ์การบวก | ||||
| 5. อินเวอร์สการบวก a + ( -a ) = 0 = ( -a ) + a | ||||
| นั่นคือ ในระบบจำนวนจริง จำนวน a จะมี -a เป็นอินเวอร์สของการบวก | ||||
• สมบัติการคูณในระบบจำนวนจริง
| ||||
| กำหนดให้ a, b, c, เป็นจำนวนจริงใดๆ | ||||
| 1. สมบัติปิดการคูณ ab เป็นจำนวนจริง | ||||
| 2. สมบัติการสลับที่ของการคูณ ab = ba | ||||
| 3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มของการคูณ a(bc) = (ab)c | ||||
| 4. เอกลักษณ์การคูณ 1 · a = a = a · 1 | ||||
| นั่นคือในระบบจำนวนจริง มี 1 เป็นเอกลักษณ์การคูณ | ||||
| 5. อินเวอร์สการคูณ a · a-1 = 1 = a · a-1, a ≠ 0 | ||||
| นั่นคือ ในระบบจำนวนจริง จำนวนจริง a จะมี a-1 เป็นอินเวอร์สการคูณ ยกเว้น 0 | ||||
| 6. สมบัติการแจกแจง | ||||
| a( b + c ) = ab + ac | ||||
| ( b + c )a = ba + ca | ||||
| จากสมบัติของระบบจำนวนจริงที่ได้กล่าวไปแล้ว สามารถนำมาพิสูจน์เป็นทฤษฎีบทต่างๆ ได้ดังนี้ | ||||
| ทฤษฎีบทที่ 1 | กฎการตัดออกสำหรับการบวก | |||
| เมื่อ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ | ||||
| ถ้า a + c = b + c แล้ว a = b | ||||
| ถ้า a + b = a + c แล้ว b = c | ||||
| ทฤษฎีบทที่ 2 | กฎการตัดออกสำหรับการคูณ | |||
| เมื่อ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ | ||||
| ถ้า ac = bc และ c ≠ 0 แล้ว a = b | ||||
| ถ้า ab = ac และ a ≠ 0 แล้ว b = c | ||||
| ทฤษฎีบทที่ 3 | เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ | |||
| a · 0 = 0 | ||||
| 0 · a = 0 | ||||
| ทฤษฎีบทที่ 4 | เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ | |||
| (-1)a = -a | ||||
| a(-1) = -a | ||||
| ทฤษฎีบทที่ 5 | เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ | |||
| ถ้า ab = 0 แล้ว a = 0 หรือ b = 0 | ||||
| ทฤษฎีบทที่ 6 | เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ | |||
| a(-b) = -ab | ||||
| (-a)b = -ab | ||||
| (-a)(-b) = ab | ||||
| เราสามารถนิยามการลบและการหารจำนวนจริงได้โดยอาศัยสมบัติของการบวกและการคูณใน ระบบจำนวนจริงที่ได้กล่าวไปแล้วข้างต้น | ||||
| • การลบจำนวนจริง | ||||
| บทนิยาม | เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ | |||
| a- b = a + (-b) | ||||
| นั่นคือ a - b คือ ผลบวกของ a กับอินเวอร์สการบวกของ b | ||||
| • การหารจำนวนจริง | ||||
| บทนิยาม | เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ เมื่อ b ≠ 0 | |||
| ||||
| ||||
สมัครสมาชิก:
ความคิดเห็น (Atom)