| • ความสัมพันธ์ |
กำหนด A และ B เป็นเซตใดๆ แล้ว r เป็นความสัมพันธ์ จากเซต A ไปเซต B ก็ต่อเมื่อ r เป็นสับเซตของ A× B
และ ถ้า r เป็นสับเซตของ A× A แล้ว r เป็นความสัมพันธ์ในเซต A
|
| ตัวอย่างเช่น | กำหนด A = {1, 2, 3}, B = { 0, 2, 4} และ r = { (x,y) ∈ A× B | y = 2x } |
| |
∴
| r = { (1,2), (2,4) } |
| หมายเหตุ | (x, y) ∈ r อาจเขียนแทนด้วย x r y |
| |
| โดเมน และเรนจ์ของความสัมพันธ์ |
| กำหนด r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B |
| โดเมนของ r คือ เซตของสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับใน r เขียนแทนด้วย Dr |
|
|
| เรนจ์ของ r คือ เซตของสมาชิกตัวหลังของคู่อันดับใน r เขียนแทนด้วย Rr |
|
|
|
| หลักการหาโดเมน และเรนจ์ของความสัมพันธ์ เมื่อกำหนด r แบบบอกเงื่อนไขมาให้ |
| 1. เมื่อต้องการหาโดเมน ให้จัด y ให้อยู่ในรูปของ x แล้วพิจารณาค่า x ทั้งหมดที่ทำให้ y หาค่าได้ และ (x,y) ∈ r
2. เมื่อต้องการหาเรนจ์ ให้จัด x ให้อยู่ในรูปของ y แล้วพิจารณาค่า y ทั้งหมดที่ทำให้ x หาค่าได้ และ (x,y) ∈ r |
| ตัวอย่างเช่น กำหนด r = { (x,y) ∈ R× R | } |
| |
| 1. หา Dr : | |
|
| | นั่นคือ y หาค่าได้เมื่อ x-2 ≠ 0 |
| | ∴ Dr = R - {2} = { x | x ≠ 2 } |
| |
| 2. หา R r : |  |
|
| | นั่นคือ x หาค่าได้เมื่อ y ≠ 0 |
| | ∴ Rr = R - {0} = { y | y ≠ 0 }
| ในระบบแกนมุมฉาก เราสามารถจับคู่หนึ่งต่อหนึ่ง ระหว่างคู่อันดับของจำนวนจริง (x, y) กับพิกัดของจุดบนระนาบ โดยให้ x เป็นพิกัดแรก และ y เป็นพิกัดหลัง จากหลักการดังกล่าวทำให้เราสามารถเขียนกราฟของความสัมพันธ์ได้ดังนี้ |
| บทนิยาม |
| ให้ R เป็นเซตของจำนวนจริง และ r เป็นสับเซตของ R× R กราฟของความสัมพันธ์ r คือ เซตของจุดบนระนาบ โดยที่แต่ละจุดแทนสมาชิกของความสัมพันธ์ R |
|
| |
| ตัวอย่างที่ 1 | จงเขียนกราฟของความสัมพันธ์ |
| r = { (x,y) ∈ A × A | x + y = 5} เมื่อกำหนดให้ |
| A = {1, 2, 3, 4} |
| วิธีทำ | r = {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)} |
 |
---------------------------------------------------------------------------
|
| ตัวอย่างที่ 2 | จงเขียนกราฟของความสัมพันธ์ |
| r = { (x,y) ∈ R × R | y = x - 1} |
| วิธีทำ | |
|  |
---------------------------------------------------------------------------
|
| ตัวอย่างที่ 3 | จงเขียนกราฟของความสัมพันธ์ |
| วิธีทำ | r = { (x,y) ∈ R × R | -1 < y ≤ 2 } |
 |
---------------------------------------------------------------------------
|
| ตัวอย่างที่ 4 | จงเขียนกราฟของความสัมพันธ์ |
| วิธีทำ | r = { (x,y) ∈ I × I | x + y < 1 } |
 |
---------------------------------------------------------------------------
| อินเวอร์สของความสัมพันธ์ r คือ ความสัมพันธ์ซึ่งเกิดจากการสลับตำแหน่งของสมาชิกตัวหน้า และสมาชิกตัวหลัง ในแต่ละคู่อันดับที่เป็นสมาชิกของ r เขียนแทนด้วย r-1 |
| การสลับตำแหน่งของสมาชิกตัวหน้า และสมาชิกตัวหลัง ทำได้ 2 วิธี ดังนี้ |
| วิธีที่ 1 | สลับที่ x และ y ในคู่อันดับ (x, y) แต่มีเงื่อนไขเหมือนเดิม |
| | ตัวอย่างเช่น | r = {(x, y) ∈ R × R | y = 3x – 1} |
| |
| r-1 = {(y, x) ∈ R × R | y = 3x – 1} |
| วิธีที่ 2 | สลับที่ x และ y ในคู่อันดับ (x, y) โดยแทนที่ x ด้วย y และแทนที่ y ด้วย x แต่ คู่อันดับ (x, y ) เหมือนเดิม |
| | ตัวอย่างเช่น | r = {(x, y) ∈ R × R | y = 3x – 1} |
| | | r-1 = {(x, y) ∈ R × R | x = 3y – 1} |
| |
|
| r-1 = {(x, y) ∈ R × R | |  | } |
|
|
สมบัติเกี่ยวกับอินเวอร์สของความสัมพันธ์
|
| ถ้า r เป็นความสัมพันธ์จากเซต A ไปเซต B |
| 1. r-1เป็นความสัมพันธ์จากเซต B ไปเซต A |
| 2. D r = R r-1 และ R r = D r-1 |
|
กราฟของอินเวอร์สของความสัมพันธ์
|
| เราสามารถวาดกราฟของอินเวอร์สของความสัมพันธ์ได้ 2 วิธีด้วยกัน ดังนี้ |
| วิธีที่ 1 |
| 1. หาอินเวอร์สของความสัมพันธ์ r-1 |
| 2.วาดกราฟของอินเวอร์สของความสัมพันธ์ โดยใช้เงื่อนไขที่ระบุใน r-1 |
| | ตัวอย่างเช่น | r = {(x, y) ∈ R × R | y = | x | + 2} |
| |
| r-1 = {(x, y) ∈ R × R | x = | y | + 2} |
|  |
| | |
| วิธีที่ 2 |
| 1.วาดกราฟของความสัมพันธ์ r |
| 2.กราฟของอินเวอร์สของความสัมพันธ์ คือภาพสะท้อนของกราฟของความสัมพันธ์ r รอบแกน x = y |
|  |
|
http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/rela_d&r.html | | |
|
|
ไม่มีความคิดเห็น:
แสดงความคิดเห็น