การแก้สมการตัวแปรเดียว

บทนิยาม	สมการพหุนามตัวแปรเดียว คือ สมการที่อยู่ในรูป
	anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 = 0
	เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก และ an, an-1, an-2 ,..., a1, a0 เป็นจำนวนจริง ที่เป็นสัมประสิทธิ์ของพหุนาม โดยที่ an ≠ 0 เรียกสมการนี้ว่า "สมการพหุนามกำลัง n"
ตัวอย่างเช่น	x3 - 2x2 + 3x -4 = 0
	4x2 + 4x +1 = 0
	2x4 -5x3 -x2 +3x -1 = 0
• การแ้ก้สมการพหุนามเมื่อ n > 2
สมการพหุนามกำลัง n ซึ่งอยู่ในรูป anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 = 0 เมื่อ n > 2 และ an, an-1, an-2 ,..., a1, a0 เป็นจำนวนจริง โดยที่ an ≠ 0 จะสามารถหาคำตอบของสมการพหุนามกำลัง n นี้ได้โดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือช่วยในการแยกตัวประกอบ
ทฤษฎีบทเศษเหลือ
	เมื่อ f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0
	โดย n > 2 และ an, an-1, an-2 ,..., a1, a0 เป็นจำนวนจริง และ an ≠ 0
	ถ้าหารพหุนาม f(x) ด้วยพหุนาม x - c เมื่อ c เป็นค่าคงตัวใดๆแล้ว เศษของ
	การหารจะมีค่าเท่ากับ f(c)
	นั่นคือ เศษของ คือ f(c)
ทฤษฎีบทตัวประกอบ
	เมื่อ f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0
	โดย n > 2 และ an, an-1, an-2 ,..., a1, a0 เป็นจำนวนจริง และ an ≠ 0
	พหุนาม f(x) นี้จะมี x - c เป็นตัวประกอบ ก็ต่อเมื่อ f(c) = 0
	ถ้า f(c) = 0 แล้วเศษของ คือ 0
	แสดงว่า x - c หาร f(c) ได้ลงตัว
	นั่นคือ x - c เป็นตัวประกอบของ f(x)
ทฤษฎีบทตัวประกอบจำนวนตรรกยะ
	เมื่อ f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0
	โดย n > 2 และ an, an-1, an-2 ,..., a1, a0 เป็นจำนวนจริง และ an ≠ 0
	ถ้า x -เป็นตัวประกอบของพหุนามของ f(x) โดยที่ m และ k เป็นจำนวนเต็ม
	ซึ่ง m ≠ 0 และ ห.ร.ม. ของ m และ k เท่ากับ 1 แล้ว
	(1) m จะเป็นตัวประกอบของ an
	(2) k จะเป็นตัวประกอบของ a0
	ขั้นตอนการหาคำตอบของสมการโดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ มีดังนี้
	1. ถ้า an = 1 ให้หาตัวประกอบ c ของ a0 และตัวประกอบ m ของ an ที่ทำให้
	f() = 0 ตามทฤษฎีบทตัวประกอบจำนวนตรรกยะ
	2. นำ x - c หรือ x - ที่หาได้ในข้อ 1. ไปหาร f(x) ผลหาร
	จะเป็นพหุนามที่มีดีกรีต่ำกว่าดีกรีของ f(x) อยู่ 1
	3. ถ้าผลหารในข้อ 2. ยังมีดีกรีสูงกว่า 2 ให้แยกตัวประกอบต่อไปอีก โดยใช้วิธีตามข้อ 1. และ 2.
-------------------------------------------------------------------
ตัวอย่างที่ 1	จงหาเซตคำตอบของสมการ x3 - 2x2 - x + 2= 0
วิธีทำ	ให้ f(x) = x3 - 2x2 - x + 2
	∴ f(1) = 1 - 2 -1 + 2 = 0
	∴ x - 1 เป็นตัวประกอบของ f(x)
	∴ = x2 - x - 2
	x3 - 2x2 - x + 2 = (x-1)(x2 - x - 2)
	= (x-1)(x-2)(x+1)
	x3 - 2x2 - x + 2 = 0
	(x-1)(x-2)(x+1) = 0
	x = 1, 2, -1
	∴เซตคำตอบของสมการนี้คือ {-1, 1, 2}
-------------------------------------------------------------------
ตัวอย่างที่ 2	จงหาเซตคำตอบของสมการ x3 - 10x2 + 27x -18 = 0
วิธีทำ	ให้ f(x) = x3 - 10x2 + 27x -18
	∴ f(1) = 1 - 10 + 27 -18 = 0
	∴ x - 1 เป็นตัวประกอบของ f(x)
	∴ x3 - 10x2 + 27x -18 = (x-1)(x2 - 9x + 18)
	= (x-1)(x-3)(x-6)
	x3 - 10x2 + 27x -18 = 0
	(x - 1) (x - 3) (x - 6) = 0
	x = 1, 3, 6
	∴เซตคำตอบของสมการนี้คือ {1, 3, 6}
-------------------------------------------------------------------
ตัวอย่างที่ 3	จงหาเซตคำตอบของสมการ x3 - x2 - 5x -3 = 0
วิธีทำ	ให้ f(x) = x3 - x2 - 5x -3
	∴ f(3) = 33 -32 -5(3) - 3= 0
	= 27 - 9 - 15 - 3
	= 0
	∴ x - 3 เป็นตัวประกอบของ f(x)
	∴ x3 - x2 - 5x -3 = (x-3)(x2 + 2x + 1)
	= (x-3)(x+1)(x+1)
	x3 - x2 - 5x - 3 = 0
	(x-3)(x+1)(x+1) = 0
	x = 3, -1
	∴เซตคำตอบของสมการนี้คือ {-1, 3}
-------------------------------------------------------------------
ตัวอย่างที่ 4	จงหาเซตคำตอบของสมการ 2x3 - 3x2 - 17x +30 = 0
วิธีทำ	ให้ f(x) = 2x3 - 3x2 - 17x +30
	∴ f(2) = 2(2)3 -3(2)2 -17(2) +30 = 0
	= 16 - 12 - 34 +30
	= 0
	∴ x - 2 เป็นตัวประกอบของ f(x)
	∴ 2x3 - 3x2 - 17x +30 = (x-2)(2x2 + x - 15)
	= (x-2)(2x - 5)(x+3)
	2x3 - 3x2 - 17x + 30 = 0
	(x - 2)(2x - 5)(x + 3) = 0
	x =2, , -3
	∴เซตคำตอบของสมการนี้คือ {-3, 2, }
-------------------------------------------------------------------
ตัวอย่างที่ 5	จงหาเซตคำตอบของสมการ 6x3 + 11x2 - 4x - 4 = 0
วิธีทำ	ให้ f(x) = 6x3 + 11x2 - 4x - 4
	∴ f(-2) = 6(-2)3 -11(-2)2 -4(-2) - 4= 0
	= -48 + 44 + 8 - 4
	= 0
	∴ x + 2 เป็นตัวประกอบของ f(x)
	∴ 6x3 + 11x2 - 4x - 4 = (x+2)(6x2 - x - 2)
	= (x+2)(3x-2)(2x+1)
	6x3 + 11x2 - 4x - 4= 0
	(x +- 2)(3x - 2)(2x + 1) = 0
	x = -2, ,
	∴เซตคำตอบของสมการนี้คือ {-2, , }
-----------------------------------http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/real_sol.html--------------------------------